so, ich bin echt am verzweifeln. Bei einer Aufgabe sollte das Wurzelkriterium angewendet werden und ich komme einfach nicht weiter.
Das Problem ist im prinzip folgendes:

ich habe einen Bruch, der nenner ist "8", der Zähler ist die n-te Wurzel von n.
So aus dem Bauch heraus ist mir klar, das das ganze kleiner als 1 bleibt, nur wie forme ich diese n-te Wurzel von n weiter um, das man das auch wirklich sieht.

Grenzwert von n-te Wurzel von n ist 1.

ok, habs mitlerweile selbst erfahren.
Jetzt stellt sich aber noch eine neue Frage, wie sieht das mit: n-te Wurzel von n! aus?
konvergiert wahrscheinlich garnicht, bzw uneigentlich gegen unendlich.
hat jemand einen beweis dafür? ich habe nichts gefunden im Netz.

Die Folge [latex]\sqrt[n]{n!}[/latex] wächst unbeschränkt.

Zunächst überlegt man sich, dass für k >= 2 gilt
[latex]\binom{2k}{k}=\prod_{i=1}^k \frac{k+i-1}{i}\ge\prod_{i=1}^k \left(\frac{k-1}{k}+1\right)\ge \prod_{i=1}^k \left(\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}\right)^k.[/latex]


Nun sei [latex]f(n):=\sqrt[n]{n!}[/latex]. Dann ist für n >= 2
[latex]\frac{f(2n)}{f(n)}=\frac{\sqrt[2n]{(2n)!}}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[2n] {\frac{(2n)!}{(n!)^2}}=\sqrt[2n]{\binom{2n}{n}}\ge \left(\frac{3}{2}\right)^{n/2n}=\sqrt{\frac{3}{2}}[/latex]
und für n=1 gilt [latex]f(2n)/f(n)=\sqrt{2}\ge\sqrt{3/2}[/latex] ebenfalls. Daher gilt

[latex]f(2^n)\ge (\sqrt{3/2})^n\cdot f(1)=(\sqrt{3/2})^n.[/latex]

Da [latex]\sqrt{3/2}>1[/latex], ist die Folge unbeschränkt.

schön, deine Mathe-Künste
aber auch schön am Thema vorbei

sorry - war zu vorschnell