Hallo und frohes neues Jahr an alle,
Da ich hier zu keiner Lösung komme, habe ich den Verdacht, daß ich die Bedeutung der w-Fortsetzbarkeit mißverstehe..

"m heisst w-fortsetzbar, wenn von m aus eine Schaltfolge w möglich ist, in der alle Transitionen unendlich oft vorkommen"- ist es so gemeint?

Wenn dem so ist, will es mir nämlich nicht gelingen, ein Netz N zu konstruieren, so dass N lebendig,
aber m0 nicht w fortsetzbar ist ( oder umgekehrt), wie ich es ja zur Widerlegung der Äquivalenz tun müsste.

vielen Dank,

Stefan

Eine Markierung m heißt w-fortsetzbar, wenn (und das gilt für alle Transitionen)

von einer erreichten Markierung m ab eine unendliche Schaltfolge w schaltet, bei der eine Transition unendlich oft schalten kann.

würde ich sagen….

ich weiß nicht so recht.. die Frage ist letztlich:
was genau bedeutet : |w|t = unendlich

alle anderen Teile der Formel sind klar.

Vielleicht war meine obige Interpretation doch richtig, und man muss ein Netz finden, in dem m0 w-fortsetzbar, N aber nicht lebendig ist, ich glaube, andersherum geht es nicht.

[latex]|\omega|_t = \infty[/latex] bedeutet, dass in der unendlichen Schaltfolge [latex]\omega[/latex] die transition t unendlich oft schaltet…
[latex]|\omega|_t = 0[/latex] bedeutet, dass in der unendlichen Schaltfolge [latex]\omega[/latex] die transition t nie schaltet…
ich denke auch, dass man ein Netz finden muss, in dem [latex]m_0[/latex] [latex]\omega[/latex]-fortsetzbar ist, aber nicht lebendig…

Eine Markierung m heißt w-fortsetzbar, wenn (und das gilt für alle Transitionen)

von einer erreichten Markierung m ab eine unendliche Schaltfolge w schaltet, bei der eine Transition unendlich oft schalten kann.

würde ich sagen….

würde ich nicht sagen. das hieße, dass ich mir für jede transition ein eigenes wort [latex]\omega[/latex] aussuchen könnte. in der definition steht das [latex]\exists \omega[/latex] aber vor dem [latex]\forall t \in T[/latex]. Es sollte also ein wort sein, dass für alle transitionen gilt.

ansonsten würde ich die definition folgendermassen vorlesen:
eine markierung m ist [latex]\omega[/latex]-fortsetzbar, wenn gilt:
es existiert ein wort [latex]\omega[/latex] das von m aus geschaltet werden kann und alle transitionen t kommen in diesem wort unendlich oft vor, werden also unendlich oft geschaltet.
was ungefähr dem text des 1971er Stefan aus H entspricht.

eine markierung m ist [latex]\omega[/latex]-fortsetzbar, wenn gilt:
es existiert ein wort [latex]\omega[/latex] das von m aus geschaltet werden kann und alle transitionen t kommen in diesem wort unendlich oft vor, werden also unendlich oft geschaltet.

dem stimme ich zu und ziehe mein "würde ich sagen.." von vorhin zurück [25]

ok nachdem wir jetzt immerhin die Aufgabenstellung kapiert haben, können wir ja an die Lösung gehen :-)

Wenn m0 w- fortsetzbar, N aber nicht lebendig ist, müsste es quasi inner halb der unendlichen Schaltfolge mindestens eine Transition geben, nach deren Schaltung eine der Transitionen nicht mehr aktivierbar ist, sehe ich das richtig?

eine klitzekleine frage:

eine transition t in m heißt aktiviert, falls
[latex]\forall p \in\ ^{\bullet}t : m(p) \geq W(p,t)[/latex]

das verstehe ich!

eine unendliche schaltfolge [latex]\omega \in T^\omega[/latex] heißt aktiviert, falls
[latex]\forall n \geq 1 : m \stackrel{\omega [n]}{\longrightarrow}[/latex]

wobei

[latex]\omega[n] \in T^* = \omega(1)\omega(2)…\omega(n)[/latex] das Anfangsstück von [latex]\omega[/latex] der Länge n ist und

[latex]\omega(i) \in T[/latex] mit i={1,2,…,n} das i-te Folgenelement ist.

für n=1 ist das klar, aber:
was bedeutet das nun für n=2

[latex]m \stackrel{\omega(1)\omega(2)}{\longrightarrow}[/latex]

ist hiermit soetwas gemeint: (???)

[latex]m \stackrel{\omega(1)\omega(2)}{\longrightarrow}\ \equiv \ m \stackrel{\omega(1)}{\longrightarrow} m' \stackrel{\omega(2)}{\longrightarrow}\ \equiv[/latex]

[latex]m \stackrel{\omega(1)}{\longrightarrow} m' \wedge \forall p \in\ ^{\bullet} \omega(2) : m'(p) \geq W(p,\omega(2))[/latex]

oder eher soetwas:

[latex]m \stackrel{\omega(1)\omega(2)}{\longrightarrow}\ \equiv \ [/latex]

[latex]\forall p \in\ ^{\bullet} \omega(1) : m'(p) \geq W(p,\omega(1)) \ \wedge \ \forall p \in\ ^{\bullet} \omega(2) : m'(p) \geq W(p,\omega(2))[/latex]

für eine antwort wäre ich dankbar

was bedeutet das nun für n=2
[…]
ist hiermit soetwas gemeint: (???)
[…]
oder eher soetwas:
[…]

Ersteres ist gemeint. Die erste Transition muss schalten können (also unter m aktiviert sein), und die Folgemarkierung dazu (bei Dir m') muss die zweite Transition aktivieren. Es soll also nicht etwa eine Markierung beide Transitionen gleichzeitig aktivieren - schau Dir zum Beispiel mal das 4-Jahreszeiten-Netz an (in dem eine Marke im Kreis wandert), da gibt es auch eine unendliche Schaltfolge, die Ausgangsmarkierung aktiviert aber nur eine einzige Transition.

cool, danke!

ok nachdem wir jetzt immerhin die Aufgabenstellung kapiert haben, können wir ja an die Lösung gehen :-)

Wenn m0 w- fortsetzbar, N aber nicht lebendig ist, müsste es quasi inner halb der unendlichen Schaltfolge mindestens eine Transition geben, nach deren Schaltung eine der Transitionen nicht mehr aktivierbar ist, sehe ich das richtig?

Auf dem Pfad bin ich jetzt auch, ich frage mich aber ob das überhaupt möglich ist? Hat jemand Tipps?

Muss t nur unendlich oft aktivierbar sein, damit w-fortsetzbar gilt, oder muss t tatsächlich unendlich oft schalten können?

Ich glaube mittlerweile: Es kann ja außer denjenigen unenblichen Schaltfolgen, durch die m0 als w-fortsetzbar charakterisiert wird, weitere geben, bei denen es z.B. zu einer Verklemmung kommen kann.
Man muss die Kantengewichtungen und die Initialmarkierung geschickt etwa derart wählen, dass z.B. eine Schaltfolge zu einer Verklemmung führt, die mit einer bestimmten Transition beginnt, die aber unendlich oft in Schaltfolgen auftreten kann, die mit anderen Transitionen beginnen…

Ich glaube mittlerweile: Es kann ja außer denjenigen unenblichen Schaltfolgen, durch die m0 als w-fortsetzbar charakterisiert wird, weitere geben, bei denen es z.B. zu einer Verklemmung kommen kann.
Man muss die Kantengewichtungen und die Initialmarkierung geschickt etwa derart wählen, dass z.B. eine Schaltfolge zu einer Verklemmung führt, die mit einer bestimmten Transition beginnt, die aber unendlich oft in Schaltfolgen auftreten kann, die mit anderen Transitionen beginnen…

sag mal bescheid wenn dir das gelingt. mir ist das noch nicht gelungen.

Stefan ist auf dem richtigen Weg. Um ein Beispiel zu finden, kann man sich folgende Dinge klar machen:

• Es braucht im Netz (für die Aufgabenteile 9.2.1 und 9.2.2) nur eine unendliche Schaltfolge ab [latex]m_0[/latex] zu geben, in der alle Transitionen unendlich oft vorkommen, damit [latex]m_0[/latex] [latex]\omega[/latex]-fortsetzbar ist. Alle anderen Schaltfolgen dürfen endlich oder unendlich sein und beliebig wenige Transitionen enthalten - egal.
• Die gewünschte unendliche Schaltfolge sollte eine Wiederholungsschleife (Stichwort T-Invariante) enthalten, in der alle Transitionen mindestens einmal vorkommen. So kann man die Eigenschaft [latex]\omega[/latex]-fortsetzbar am einfachsten nachweisen.
• Es muss aber - um Stefans Idee der erreichbaren Verklemmung umzusetzen - irgendwo in dieser Schleife eine Möglichkeit geben, die "falsche" Transition zu schalten, so dass die Schleife verlassen wird. Man muss also ein "empfindliches" Netz konstruieren wie z.B. das Kochrezept aus Aufgabenblatt 2, dort konnte man das Rezept vermasseln, indem man zu oft Creme anrührt.

Ich hoffe, diese Hinweise helfen beim Finden eines Beispiels. Nehmt aber bitte nicht das erwähnte Kochrezept als Beispiel - erstens gibt es dort bisher keine unendliche Schaltfolge und zweitens wäre es nach einem entsprechenden Umbau viel zu kompliziert…

Ach ja: Frohes neues Jahr!