Folie 10-40
Wieso ist die partielle Ordnung von notwendig P kleiner als notwendig möglich notwendig P?

Zunächst überlegt man sich, dass in S4 gilt
[latex]P\models \Diamond P[/latex] (Regel 1) und [latex]\Box P\models \Box\Box P[/latex] (Regel 2).
(Diese Regeln folgen aus der Reflexivität und Transitivität der Sichtbarkeit).
Außerdem gilt allgemein: wenn [latex] P\models Q[/latex], dann [latex]\Box P\models \Box Q[/latex]
(Regel 3)

Wendet man die erste Regel auf [latex]\Box P[/latex] an, bekommt man [latex]\Box P\models \Diamond\Box P[/latex].
Regel 3 liefert dann [latex]\Box\Box P\models \Box\Diamond\Box P[/latex], also wegen [latex]\Box P\models \Box\Box P[/latex] auch [latex] \Box P\models \Box\Diamond\Box P[/latex].

Dass die Modalitäten [latex]\Box[/latex] und [latex]\Box\Diamond\Box[/latex] verschieden sind,
sieht man an folgender Kripke-Struktur: Nimm als Welten die natürlichen Zahlen (jede Welt
ist eine nat. Zahl). Die Sichtbarkeit soll durch die Teilbarkeit (m sieht n, wenn m Teiler von n ist)
gegeben sein. Die Aussage P in der Welt (=Zahl) n soll dann bedeuten: P="n ist Vielfaches einer
Quadratzahl>1". Dann ist [latex]\Box\Diamond\Box P[/latex] immer wahr, aber [latex]\Box P[/latex]
ist nicht wahr in Primzahl-Welten.

Soweit klar?

Ja, danke für die Mühe :)