2. Die reelle 3 × 3 -Matrix A sei gegeben durch
2 1 0 A= 1 2 1 0 1 4 Sei b=b^A die zu A gehoerige Bilinearform auf V = R^3 , also b(x, y) = xAy^T .
Berechnen Sie b(v,w) , b(u, z) und b(z, z) fuer v = e_1 = (1, 0, 0) , w = e_3 = (0, 0, 1) ,
u = (1, 2, 3) , z = (−1,−1, 1) .
Pruefen Sie, ob b symmetrisch und positiv definit ist.
Ich bin etwas verwirrt, muesste nicht b in diesem Fall eine 3x3-Matrix sein, und nicht wie im Skript ein Skalar?
Ich multipliziere ja erst einen Spaltenvektor mit einer 3x3-Matrix und erhalte eine 3x3-Matrix und dann multipliziere ich die 3x3-Matrix mit einem transponierten Spaltenvektor. Was eigentlich gemeint ist ist ja klar, aber wo liegt mein Denkfehler bzgl. Matritzenmultiplikation? Oder ist es tatsaechlich ein Druckfehler? und es ist x^{T}Ay gemeint?

Hi Harzi,

hab's gerade nur ueberflogen, aber einen *Spaltenvektor* mit einer 3x3-Matrix zu multiplizieren
wird nicht gehen!

(Zeilenvektor (mit drei Spalten) mal 3x3-Matrix geht. Da kommt dann wieder ein
Zeilenvektor (mit drei Spalten) heraus, den man dann mit einem Spaltenvektor
multiplizieren kann, was eine 1x1-"Matrix" ergibt. – Vorausgesetzt Zeilenvektor
und Spaltenvektor haben jeweils drei Elemente!)

Frank :)

Hi Harzi,

ich nochmal ;)

jetzt versteh ich glaub ich was du gemeint hast ;)

Also b 'ist' eine 3x3 Matrix (naemlich gerade A) oder anders: b ist eine
Bilinearform, d.h. eine Abbildung, die zwei Vektoren auf einen Skalarwert
abbildet (und gewisse Eigenschaften erfuellt, naemlich in beiden Argumenten
linear zu sein). Die *darstellende Matrix* der Bilinearform b ist nun gerade
A - so in der Aufgabe gegeben.

Die Angabe fuer b(x,y) wird wahrscheinlich ein Druckfehler sein und es
wird b(x,y) = x^T * A * y gemeint sein. (Haengt natuerlich davon ab, wie
der 'normale' Vektor definiert ist (Spalte oder Zeile) und welcher dann der
transponierte ist.)

Frank :)

Sind wir schon zwei mit der Meinung. Ich werd nochmal im Skript gucken, aber ein (x_1,…,x_n)-Vektor wurde normalerweise als 1xn-Matrix dargestellt.