Hallo an alle.

Es hat mir schon so oft geholfen wenn ihr mir Dinge erklärt habt, also würde ich sehr gerne wieder eure Hilfe in Anspruch nehmen.

Mit ist der Begriff, die Definition, Bedeutung usw der Basis schon klar. Aber es fällt mir schwer zu einer Abbildung eine Basis zu finden. Ich weiss nich wie ich das angehen muss.

zB. In den Übungsaufgaben sollen wir vom Kern einer Abbildung eine Basis angeben.

Ich möchte jetzt nicht die Lösung haben aber vieleicht könnte mir jemand das an Hand der ähnlichen Präsenzaufgabe erklären.

Dort haben wir den Kern (a,a,0) oder a(1,1,0) (Zusatzfrage: Ist es richtig, dass dieser Kern die Dimension 3 hat? Wegen den 3 Elementen?)

die lineare Abbildung ist: f(x1,x2,x3) = (x1-x2,x3)

Was wäre nun eine Basis von diesem Kern und wie komme ich darauf?

Vielen Dank schonmal

Dort haben wir den Kern (a,a,0) oder a(1,1,0) (Zusatzfrage: Ist es richtig, dass dieser Kern die Dimension 3 hat? Wegen den 3 Elementen?)

Nein, es ist nur ein Tupel, also Dimension eins!

Und die Basis hast Du auch schon - {a(1,1,0) | a \in R} heisst ja genau: Genau die Vektoren, die sich als Linearkombination von diesem einen Vektor darstellen lassen, sind im Kern enthalten. Sprich, ((1,1,0)) ist ein Erzeugendensystem des Kerns. Linear unabhaengig ist es auch (ein einzelner Vektor \neq 0 ist immer l.u.), also ist es eine Basis.

was wäre dann eine Basis zu ker g = {(a,a,b,-b)} ? und wie könnte ich diesen Kern ohne a und b darstellen?

falls mein Kern richtig ist…

g ist (x1,x2,x3,x4) = (x1-x2,x3+x4)

dieser Kern hat dann auch nur die Dimension 1?

Sorry ich habe das alles und all die Zusammenhänge noch nicht 100% verstanden

was wäre dann eine Basis zu ker g = {(a,a,b,-b)} ? und wie könnte ich diesen Kern ohne a und b darstellen?

du kannst z.b schreiben: ker g = {a(1,1,0,0)+b(0,0,1,-1)}

Wie du siehst hast du dann auch eine Basis gefunden.
Zur erklärung der Dimension: Die Dimension kannst du anhand der Anzahl der Elemente der Basis ablesen. besteht deine Basis z.b aus einem Vektor , hast du die Dimension 1. Besteht er aus zweien, so hast du die Dimension 2 usw…

zudem kannst du dir den kern auch geometrisch betrachten:

a(1,1,0,0)+b(0,0,1,-1) = (0,0,0,0)+a(1,1,0,0)+b(0,0,1,-1)
was eine normale Ebenengleichung wäre , die du vielleicht aus der Schule kennst.

Vielen Dank für die Erklärungen :)