Hallo!

Ich habe mal eine Frage zu der 4. Präsenzaufgabe. Wir hatten am Schluss nicht mehr so viel Zeit und deshalb bräuchte ich nochmal ein paar Erläuterungen bitte um dann auch die Übungsaufgaben zu lösen.

Hier ist der Aufgabenzettel für die erfahrenen Semester:

http://www.triphoenix.de/wiki/files/DM_2007_Blatt11.pdf

Als Lösung für die Aufgabe wurde folgendes in den letzten 5 Minuten an die Tafel geschrieben:

ker f={(x_1,x_2,x_3) aus R^3 | x_1-x_2 = 0 und x_3 = 0}

= {(a,a,0) | a aus R} = {a(1,1,0) | a aus R}

Ok alles das macht für mich schon mal einen Sinn, aber was ist nun der Kern von f? Ist das jetzt {a(1,1,0) | a aus R} ? und warum wurde das a nochmal ausgeklammert und man schreibt (1,1,0) anstatt (a,a,0)?

Und ist die Dimension vom Kern nun 2? Weil zwei Vektoren von f auf den Nullvektor abgebildet werden?

Und was ist hier die Basis vom Kern? ist das etwa (1,1,0)?

Erstmal ne Erklärung, was der Kern von f nun ist:

Du hast eine lineare Abbildung f: R^3 -> R^2 V ist also R^3
Der Kern dieser Abbildung sind nun alle Vektoren aus R^3 für die gilt
f(v) = 0. D.h der Kern besteh aus allen Vektoren die durch die Abbildung auf 0 abgebildet werden.

Jetzt hast du die explizite Abbildung: f(x_1,x_2,x_3) = (x_1-x_2,x_3)
Man bestimme nun den Kern:
1: x_1-x_2=0 => x_1 = x_2
x_1 und x_2 müssen also identisch sein

2: x_3 = 0 =>
x_3 muss 0 sein

Nun kannst du, da du weisst dass x_1 und x_2 identisch sein müssen für diese das "a" einführen , x_3 muss 0 sein
=> Kern f= (a,a,0) , da (a,a,0) =a*(1,1,0)ist , kannst du auch schreiben Kern f = a(1,1,0). Ist also beides das gleiche.

Zur Dimension von 2 , rate ich dir zu überlegen was geometrisch gesehen a(1,1,0) bildet.

Die Basis ist leicht zu bestimmen. Ich denke mal es ist Basis={(1,0,0),(0,1,0)}, wenn es falsch ist möge mich einer verbessern…

sorry meine angegebene basis war falsch denn aus {(1,0,0), (0,1,0)}
kann man auch z.B. vektoren erzeugen die so aussehen: (a,0,0)

Danke für die gute Erklärung zum Kern.

Kann mir jemand noch die Basis und die Dimension etwas erläutern bitte? Vieleicht an diesem Beispiel?

Im Skript fehlen mir irgendwie die Beispiele, oder Übungsaufgaben ähnliche Beispiele um es genaus zu verstehen.

Danke.

Man bestimme nun den Kern:
1: x_1-x_2=0 => x_1 = x_2
x_1 und x_2 müssen also identisch sein

2: x_3 = 0 =>
x_3 muss 0 sein

Wenn ich nun x_1 = x_2 und x_3 = -x_4 habe…

ist der Kern dann (a,a,a,-a) oder (a,a,b,-b) oder ist beides möglich?

Dann kann ich für (a,a,a,-a) gleich a(1,1,1,-1) schreiben aber das gilt dann nicht mehr für (a,a,b,-b) ?

Was ist richtig?

Wenn ich nun x_1 = x_2 und x_3 = -x_4 habe…

ist der Kern dann (a,a,a,-a) oder (a,a,b,-b) oder ist beides möglich?

Meiner Meinung nach musst du dann schreiben:

(a,a,b,-b)
denn aus deinen Bedingungen geht eindeutig hervor, dass x_1 bzw x_2 nicht in beziehung mit x_3 bzw x_4 steht.

In dem fall (a,a,a,-a) wären die bedingungen x_1=x_2=x_3 und x_4=-x_3 .

danke :) das leuchtet ein