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ALA-Klausur 24.07.06
Hallo!
Gibt bisher noch keinen offiziellen Klausur-Thread, also fang ich mal an.
Die Klausur war an sich machbar, aber es ist irgendwie doch immer wieder zu wenig Zeit. Zuerst hat sie sogar "90 Minuten" gesagt, aber nachdem ich ab der 85. Minute ziemlich im Stress war, hab ich dann festgestellt, dass es doch ganz normal 2 Stunden sind (gereicht hat es trotzdem nicht).
Die Aufgaben ähnelten sehr stark dem Klausur-Vorbereitungs-Übungs-Blatt - gleiche Aufgabentypen in der gleichen Reihenfolge, zumindest am Anfang.
Rudimentäres Gedächtnisprotokoll:1. Zwei Ungleichungen zu lösen. a) mit zwei, [3 Pkte] b) mit drei Fallunterscheidungen, wie auf dem Übungsblatt. [7 Pkte]
2. Rekursiv definierte Folge: a_1 = 2, a_2 = 1/2 * (a_n + 1/a_n)
a) Zeigen, dass sie konvergiert - Hinweis: Zeigen, dass a_n <= 1 für alle a_n [5-6 Pkte ?]
b) Grenzwert bestimmen [4-5 Pkte ?]
3. a) Drei Funktionen ableiten [6 Pkte]
b) Extremstellen von f(x) = e^x + e^(-x) bestimmen und Funktionswert angeben [4 Pkte]
4. Berechne (es ist grad zu warm für LaTeX) Integral von 1/(x^4 - 1) mit Partialbruchzerlegung. [10 Pkte]
5. a) Überprüfung von 5 Reihen auf Konvergenz / Divergenz (ohne Bestimmung der Grenzwerte)
b) Konvergenzradius für die
unten von ethrandil gepostete Potenzreihe bestimmen und den Grenzwert abhängig von x
6. f(x) = sin(5x)
a) Taylorpolynom T_5(x) angeben durch Berechnung der ersten 5 Ableitungen von f(x) [4 Pkte]
b) Allgemeine Formel für die n. Ableitung angeben und daraus die Taylorreihe bestimmen [3 Pkte]
c) Taylorreihe für f(x) aus der Taylorreihe für sin(x) herleiten [3 Pkte]
7. a) Doppelintegral für f(x,y) = x/y und G = ein Rechteck [5 Pkte]
b) Doppelintegral für f(x,y) = 2 und G = ein Dreieck [5 Pkte]
8. a) Drei 3x3-Matrizen - prüfen ob positiv / negativ definit oder indefinit.
b) Determinante einer 4x4 Matrix berechnen.
Anmerkungen, Tipps für Nachschreiber:4) Könnte auch 1/(1 - x^4) gewesen sein. Weiß ich grad nicht mehr so genau.
6 b) hätte man (verdammt!) einfach geometrisch deuten können, denn da f(x,y)=2 ist, handelt es sich um ein simples Prisma mit dreieckiger Grundfläche - man hätte (verdammt!) also Dreiecksgrundfläche * 2 rechnen können und so viel Zeit gespart.
7 a), erste Reihe: Wenn man einfach blind das Leibniz-Kriterium anwendet und zeigt, dass (a_i) eine monotone Nullfolge ist, bekommt man heraus, dass die Reihe konvergiert. Aber: Die Reihe beginnt bei k=0 und der erste Summand (der mit k=0 also) ist gar nicht definiert, weil dann eine 0 im Nenner steht. Kann also nicht konvergent sein. Wenn man das gleich sieht, kann man sich das mit dem Leibniz-Kriterium sparen und nicht wie ich erst zeigen, dass die Reihe ansonsten monoton und Nullfolge ist [img]
http://www.fb18.de/gfx/12.gif[/img]
Eine Aufgabe war noch die Konvergenz bzw. Divergenz von Reihen…
Ich fand ebenfalls, dass die Zeit eng bemessen war, aber das ist bei Mathe-Klausuren wohl so üblich…
Ich habe mich eigentlich relativ gut vorbereitet gefühlt (Übungsblätter noch mal durchgerechnet), aber die Klausur war dann doch sehr an das Klausur-Vorbereitungsblatt angelehnt, in dem die Aufgabenstellungen zu einem gewissen Prozentteil sehr von dem der Übungsblätter abweichte… Na ja, Andreae hat die Übungsblätter erstellt, Blunck die Klausur. Schön blöd, wenn man sich das Vorbereitungsblatt kaum angeschaut hat… Man lernt nie aus. ;-)
wenn ich nicht verrechnet habe,sollen die antworten so sein:P
1.a)(-unendlich,3)&[7/2,+unendlich)
b)(-unendlich,-5)&(-5,-1)&(3,5)
2.b)1
3.a)cosx*cosx^1/2-1/2*sinx*sinx^1/2*x^1/2
[4^x*ln4*(1+3^x)-4^x*ln3*3^x]/(3^x+1)^2
[(4+x^2)^(-1/2)]*{[3+(4+x^2)^(1/2)]^(-1/2)}*x/2
b)Minimum x=0,Funktionswert 2
4.ln(x-1)/2-ln(x+1)/2+arctanx
5.a)div,div,div,kon,kon
b)|x|>1,Grenzwert |5/(4x)|
6.skript s. 98,wie sinx,aber *5^(2k+1)
7.a)2ln4
b)3/2
8.a)pos,indefinit,neg.
b)-5c-ab
k.G.
7 b)
Bestimme für die Potenzreihe [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7B%5Cfrac%7B(-4)%5Ek%7D%7B5%5E%7Bk%2B1%7D%7D%20%5Ccdot%20x%5E%7Bk%7D[/img] diejenigen x e R für die sie konvergiert.
"Gebe für diese x den Grenzwert an."
Letzten Satz habe ich so verstanden wie 'Welche Funktion stellt die Potenzreihe für die konvergierenden xe dar'. Ich habe keine Ahnung.
mfg
- eth
das war 5 b).
glaube die reihenfolge von f0k ist bisschen durcheinander.
5:überprüfung der reihen auf konvergenz/divergenz
6.f(x)=sin5x
7.Doppelintegral
"Gebe für diese x den Grenzwert an."
Ja, man kann die Formel etwas umformen, so dass sie die geometrische Reihe (S. 82) mit q=(-4/5 * x) darstellt (und einem Faktor 1/5 vor der Reihe) - deren Grenzwert ist dann (1 / (1 - q)) (S. 86, Beispiel 1). Aber nur, wenn |q| < 1, und damit hat man auch gleich die x, für die die Reihe konvergiert.
glaube die reihenfolge von f0k ist bisschen durcheinander.
Gut möglich. Ich hab mir den Klausur-Vorbereitungszettel angeguckt und mich mehr oder weniger gut dran erinnert, was in der Klausur vom jeweiligen Typ drankam. Ich ändere das oben mal.
Ich habe mal ein Gprot angefertigt:
http://rapidshare.de/files/26939545/Gprot_ALA1_v2.0_2006-07-24.pdf.htmlFalls ihr da noch Fehler findet. Sollte aber schon ziemlich vollständig und korrekt sein.
Edit: Link auf Version 2 geändert!
was ist das denn
hast du soviel zeit gehabt während der klausur, oder schreibst du nochmal?
Okay, einmal meine Korrekturvorshläge (jaja, teilweise nur Formatierungen):
War bei 7b links im Zähler nicht ein Betrag? Also |5+x|?
Bei 2 ist ein Tippfehler da sollte [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?a_%7Bn%2B1%7D[/img] statt [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%20a_n%20%2B1[/img] stehen.
6b) [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?f%5E%7B(n)%7D[/img] statt [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?f%5En[/img]
Ansonsten sehr schön =)
- eth
Ich war derjenige, der als 1. gegangen ist ;-) Ich hatte für die Klausur nicht gelernt und wollte diesmal nicht nur bestehen, sondern auch eine gute Note machen. Daher habe ich mir das alles angeschaut und einfach so wieder abgegeben bzw. nicht bewerten lassen.
Neue Version:
http://rapidshare.de/files/26939545/Gprot_ALA1_v2.0_2006-07-24.pdf.htmlDie 3 Fehler von Clemens korrigiert ;-)
ach so , hi tim;-) dank dir konnte ich nicht auf die toilette;-)
Na ja, Andreae hat die Übungsblätter erstellt, Blunck die Klausur. Schön blöd, wenn man sich das Vorbereitungsblatt kaum angeschaut hat… Man lernt nie aus. ;-)
So isses, ich hab mir sehr viel drauf eingebildet, den Schein relativ eigenständig gekriegt zu haben und mich viel zu wenig vorbereitet, in der Annahme, dass das was ich nicht kann wohl wenig sein wird und ich Zeit zum nachgucken hab.
Laut Frau Willsdorf hängen die Ergebnisse nun!
Kann jemand mir mein Ergebnis sagen bzw. ein Foto machen und mir schicken?
N Foto wär super, bitte auch von dem Teil mit den Diplom-Studenten ;)
N Foto wär super, bitte auch von dem Teil mit den Diplom-Studenten ;)
Solange das Foto hier nicht reingestellt wird. [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]
ALA Ergebnisse
[EditTri: rauseditiert, s.u.]
Fotos dürfen hier leide rnoch wie vor nicht reingestellt werden, da das hier zu öffentlich ist. Die Diskussion hatten wir oft genug und daran wird sich auch so nichts ändern. Ich werde demnächst nochmal mit dem PAmt drüber reden wie es mit einer Fachbereichsinternen geschichte ist wenn da Fotos stehen, aber vorerst müsst ihr euch Matrikelnummern oder Fotos zuschicken
wer auch immer der anonyme user war: eine mail mit den fotos an "mail /AT/ tilowestermann.eu" wär super!!
danke schonmal!
gerne auch eine E-Mail an webmaster (at) programmierforen (dot) de
bitte auch an 4tran@informatik….
danke
Würde mich auch über eine Mail mit dem Foto freuen an 5karsten (at) informatik (dot) uni-hamburg (dot) de
und dann doch gleich an 5kiolbas@
so ich habe jetzt allen über mir eine mail geschickt,
bitte jetzt die nerven.
euer Wiinf 5_H_O_D_U_M
danke für die mail - 4gewinnt :-)
wäre super (mehr alls super)wenn du mir auch das Foto schicken könntest Bitte Bitte;)
an
therealhotshit@hotmail.deThanx gruss Falk
ju dito :>>
wil auchma guggn ob ich die 4 geschafft hab ^^
plz @
j.schulz@gameaholix.dethx
Hab die beiden über mir bedient. Nicht dass die jetzt zugespammt werden von allen, die die Ergebnisse haben. [img]
http://www.fb18.de/gfx/23.gif[/img]
Auch ich würd mich über nen Bild von den Diplom Ergebnissen freuen.
Dank im vorraus;
3rathjen@inf..
Verschickt.
Ich hab übrigens mal den Schnitt ausgerechnet von allen, die bestanden haben (dahinter die Standardabweichung [img]
http://www.fb18.de/gfx/7.gif[/img]):
Nur Bachelor: 3.019 +/- 1.015
Alle: 3.050 +/- 0.992
An mich bitte auch ein Foto der Diplom-Leute:
4hops@inf…
Danke
und eine an …
sobald die erste da ist werd ich diesen Beitrag ändern :)
EDIT: Mail ist da =)
- eth
Hab mich mal wieder erbarmt.
Spricht eigentlich was dagegen, die einfach in irgendein home-Verzeichnis zu packen? Dann kommen ja auch nur Leute aus der Informatik dran. Oder hat das auch schonmal jemand probiert und Ärger bekommen?
wenn ich nicht verrechnet habe,sollen die antworten so sein:P
1.a)(-unendlich,3)&[7/2,+unendlich)
b)(-unendlich,-5)&(-5,-1)&(3,5)
2.b)1
3.a)cosx*cosx^1/2-1/2*sinx*sinx^1/2*x^1/2
[4^x*ln4*(1+3^x)-4^x*ln3*3^x]/(3^x+1)^2
[(4+x^2)^(-1/2)]*{[3+(4+x^2)^(1/2)]^(-1/2)}*x/2
b)Minimum x=0,Funktionswert 2
4.ln(x-1)/2-ln(x+1)/2+arctanx
5.a)div,div,div,kon,kon
b)|x|>1,Grenzwert |5/(4x)|
6.skript s. 98,wie sinx,aber *5^(2k+1)
7.a)2ln4
b)3/2
8.a)pos,indefinit,neg.
b)-5c-ab
k.G.
Hi Hässchen,
muß zum 2ten Termin ALA schreiben und habe grade deine Lösungen für die Aufgaben zum 1ten Termin gesehen.. Mit den Fallunterscheidungen komme ich irgendwie noch nicht so ganz zurecht, wär schön wenn du (oder eine andere hilfsbereite Person) mal den Lösungsweg für 1)a+b) angeben könntest..
Danke.
Dem kann ich nur zu Stimmen, für die ersten beiden Aufgaben wäre ein grober Lösungsweg (ein Ansatz langt schon) nett.
Dem kann ich nur zu Stimmen, für die ersten beiden Aufgaben wäre ein grober Lösungsweg (ein Ansatz langt schon) nett.
Also der grundlegende Ansatz ist, eine Fallunterscheidung zu treffen, das heißt mehrere Bereiche für x getrennt voneinander zu behandeln. Die Grenzen für diese Bereiche liegen dort, wo ein Zähler, Nenner oder Betrag 0 wird.
Bei 1 a) gibt es nur die Grenze x=3. Man teilt den Definitionsbereich also auf x < 3 und x > 3 auf (für x = 3 ist der linke Term undefiniert, deshalb wird das ausgelassen; sonst würde man es einem der beiden Bereiche mit zuordnen) und berechnet getrennt die Lösungsmengen. Dabei kann man dann ausnutzen, dass im ersten Bereich der Nenner auf jeden Fall negativ und im zweiten Bereich der Nenner auf jeden Fall positiv ist (deswegen wird die Grenze ja auch so gewählt). Am Ende vereinigt man die errechneten Lösungsmengen zu einer einzigen und ist fertig.
1 b) ist das gleiche, nur wird das alles komplizierter, was man auch daran sieht, dass es dafür mehr als doppelt so viele Punkte gab [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img].
Ich habe mit Ungleichungen unerwartet viele Probleme… Anders ausgedrückt: Ich raffe die Dinger momentan nicht. Im Übungsbetrieb war das irgendwie alles so einfach ;-(
Zur Klausuraufgabe 1b: Könnte mir da jemand vielleicht meine Lösunge vervollständigen bzw. besser mit mir zusammen auf den richtigen Weg kommen? Ich habe das mal als pdf unter
http://www.viprex.de/files/eigene_Uebungen_Klausurvorbereitung.pdf vorbereitet, weiß nun aber nicht weiter und ob das alles auch richtig ist. Unter gleicher URL mit der Endung .odt gibts dazu das Open Office file, falls jemand direkt dareinschreiben möchte.
Edit: Neue Version:
http://www.viprex.de/files/ala_klausur_1b.pdf
danke viprex. hab bei der vorbereitung auch probleme eine mustergültige lösunf anzufertigen.
Zur Klausuraufgabe 1b: Könnte mir da jemand vielleicht meine Lösunge vervollständigen bzw. besser mit mir zusammen auf den richtigen Weg kommen?
Ich hatte mit 1 b) auch irgendwelche Probleme, hau mal Julian (JHK) an [img]
http://www.fb18.de/gfx/17.gif[/img]. Aber was mir als erstes schonmal auffällt: Bei Fall 1 (x > 3) rechnest Du im zweiten Schritt "mal 3-x". Wegen x>3 ist aber 3-x<0, also musst Du dann das Ungleichheitszeichen umdrehen. – Ich sehe gerade, bei Fall 2 ist Dir das auch aufgefallen, allerdings gilt bei Fall 2: 3-x>0 [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]. Aber richtig gedacht ist es; wenn Du mit was negativem multiplizierst (oder dadurch teilst), musst Du das Zeichen umdrehen.
So, und da, wo Du "und nun?" schrobst, hilft quadratische Ergänzung. Das heißt, Du addierst eine Zahl auf beiden Seiten, so dass Du auf der linken Seite eine binomische Formel stehen hast. Hier würdest Du also auf beiden Seiten +4 rechnen, dann die binomische Formel rückwärts anwenden, Wurzel ziehen (hier entstehen zwei Fälle - die "Wurzel 9" auf der rechten Seite kann +3 oder -3 sein) und zu Ende rechnen.
Ich weiß nicht, ob man auch einfach die pq-Formel anwenden kann, aber bei der quadratischen Ergänzung macht man auf jeden Fall nichts falsch mit dem Kleiner als / Größer als.
Hab zwei Mal durchgerechnet und für 7b.) immer 9 rausbekommen. Denke, da ist ein Fehler in den Lösungen (s.o.)
Ok, habe Fall 1 und 2 soweit durch glaube ich. Wäre nett, wenn das nochmal jemand überprüfen würde.
Aber bei Fall 3 und 4 habe ich noch Fragen (siehe pdf). Werde Julian nochmal anhauen, aber vll. kann da ja auch jemand anderes helfen.
http://www.viprex.de/files/ala_klausur_1b.pdfunter gleicher Adresse mit Endung .odt wieder das OO file…
so also aus -x wird nicht x wie du es in den beiden unteren fällen machst, da steht ja kein betrag und den vorletzten fall kannst du weglassen ist derselbe wie der 2te,
bei solchen aufgaben ergeben sich die verschiedenen fälle durch die nullstellen im nenner und die "nullstellen" der beträge
weiterhin kannst du ruhig die p-q-formel benutzen: x²+px+q>0 => x>-p/2+-sqrt((p/2)²-q)
Hat vll. jemand die Lösungen zu Aufgabeblatt 8 und 11 für mich sowie für Aufgabe 10.B.4 ? 11 haben wir wohl nicht mehr gemacht und 8 ist uns anhanden gekommen. 10.B.4 verstehe ich momentan nicht ganz ;-(
Bitte per eMail an "5albers bei inf…" senden. vielen vielen Dank!
Ok, brauche nun nur noch die Lösung zu 10.B.4. falls die noch jemand für mich hat… ;-)
Edit: Würde auch reichen, wenn jemand meine Ergebnisse unter
http://www.viprex.de/files/blatt10_B_4.pdf bestätigen oder korrigieren würde. Unter Endung .odt wieder das OO file.
Danke!
Edit: Würde auch reichen, wenn jemand meine Ergebnisse unter http://www.viprex.de/files/blatt10_B_4.pdf bestätigen oder korrigieren würde.
Ist genau richtig so. [img]
http://www.fb18.de/gfx/14.gif[/img]
Hab zwei Mal durchgerechnet und für 7b.) immer 9 rausbekommen. Denke, da ist ein Fehler in den Lösungen (s.o.)
ich habe hingegen für 7 b immer 12 rausbekommen. Habe auch mal gegengerechnet indem ich rechteck (0,0 0,2 3,0 3,2) minus 2 x dreieck (0,1 0,0 3,0) gerechnet habe, auch dort kommt 12 raus. Hat dazu noch jemand Ergebnisse?
Ich komme aber irgendwie weder mit den Konvergenzkriterien noch mit den Taylorreihen Aufgaben b und c zurecht. Hat das schon jemand gerechnet und mag es hier erklären, einen guten Tipp geben oder vll. sogar online stellen?
Klausur: 7b:
Wenn ichs richtig verstanden habe, kommt man auf folgende Grenzen:
0<=x<=3 und -1/3x + 1 <= y <= 1/3x + 1
Also bekommt man fürs "innere Integral" (dy) 4/3x heraus. Eingesetzt und integriert ergibt dies meiner Meinung nach 6.
Oder wie habt ihr das gerechnet?
Ich habe mir gerade nochmal den Vorbereitungszettel angeschaut und da zu Aufgabe 1b eine Frage. Frau Blunk hat ja netterweise auch gleich die Lösungen samt lösungsweg dazu gegeben.
Leider verstehe ich nicht, warum sie im Fall 2 aus dem (x-1)² ein 1-x macht. Es kommen dann doch unterschiedliche Ergebnisse raus. Und warum schreibt sie beim vorletzten Äquivalenzpfeil ran, dass 1-x>0 gilt. Welche Bewandnis hat das?
Und dann nochmal eine generelle Frage: Wenn ich wie in Fall 3 das x+3<0 und x-1<0 habe, warum dreht sich beim multiplizieren mit dem negativen (die beiden Ausdrücke sind einzeln genommen ja negativ) das Ungleichheitszeichen nicht 2 mal, sodass es wieder < ist?
Zu finden (habe ein Foto davon gemacht)unter
http://www.viprex.de/files/ala_vor_1b.jpg
he tim, hast du noch die restlichen lsg? wär nett, wenn du sie auch on stellen könntest.danke.
Hallo,
ich habe ein Problem mit der Aufgabe 2a.
Ich schaffe es nicht über Vollständige Induktion die monotonie nachzuweisen.
Rekursiv definierte Folge: a_1 = 2, a_n+1 = 1/2 * (a_n + 1/a_n)
Vll kann mir jmd beim Lösungsweg helfen.
MfG
stevie
Bei Aufgabe 2 habe ich auch so einige Probleme. Habs mal wieder online unter
http://www.viprex.de/files/ala_klausur_2.pdf (Endung .odt wieder einmal das Open Office file).
Meine Fragen stehen im Text. Vll. können wir das ja hier zusammen lösen.
@Anonym: Wenn du mir sagst, wer du bist und mir verrätst, welche Lösungen du meinst, dann stelle ich sie vll. online (die vom Vorbereitungszettel könnte ich abfotografieren). Alle anderen Lösungen müsste ich eintippen. Dafür fehlt mir die Zeit.
Wieviele von euch hier müssen denn noch nachschreiben? Ich suche verzweifelt nach jemandem, der mir das irgendwo vor Ort erklären kann. Hier alleine zu Hause ist das echt verdammt schwer, wenn man gar nicht weiter kommt.
Edit: Habe die Lösungen der Vorbereitungsaufgaben abfotografiert:
http://www.viprex.de/files/ala_vor_loesungen_1.jpghttp://www.viprex.de/files/ala_vor_loesungen_2.jpghttp://www.viprex.de/files/ala_vor_loesungen_3.jpghttp://www.viprex.de/files/ala_vor_loesungen_4.jpghttp://www.viprex.de/files/ala_vor_loesungen_5.jpghttp://www.viprex.de/files/ala_vor_loesungen_6.jpg
Zu a) , du benutzt garnicht den Tipp 1 <= an.
ii) hilft es das an+1 zu ersetzen? das ist ja gegeben.
Oder, man muss doch von an > an+1 zu an+1 > an+2 kommen, oder nicht?
Du fängst sozusagen von hinten an.
zu b) man sollte in a) nur zeigen das die Folge konvertiert.
Also montonie und beschränktheit nachweisen => konvergent.
ah tim, ich dachte, du meintest die ala klausur! hast du die schon bearbeitet?
Da bin ich bei. einige Teile habe ich ja schon hier online, ich werde mich beeilen und den Rest mal dazu stellen, dann können wir vergleichen.
Ich habe auch Aufgabe 4 zu Computer gebracht. Kann jemand mein Ergebnis bestätigen? Es stimmt nämlich nicht mit dem aus Post 3 überein…
http://www.viprex.de/files/ala_klausur_4.pdf (unter Endung .odt wieder das oo file)
Die Aufgabe 2a ii geht z.B. so:
Lemma: a_n>1 für alle n.
Beweis:
Für n=1 gilt das offenbar. Induktionsschritt:
Angenommen, es wäre [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?a_%7Bn%2B1%7D%5Cle%201[/img] (*). Dann zeigen
wir induktiv, dass
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?a%5E%7B2%5Ek%7D_n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%5E%7B2%5Ek%7D_n%7D%5Cle%202[/img] (**)
für alle k.
Für k=0 ist dies Gleichung (*).
Für k+1: Es gelte [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?a%5E%7B2%5Ek%7D_n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%5E%7B2%5Ek%7D_n%7D%5Cle%202[/img].
Quadrieren und Subtrahieren von 2 auf beiden Seiten ergibt
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?a%5E%7B2%5E%7Bk%2B1%7D%7D_n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%5E%7B2%5E%7Bk%2B1%7D%7D_n%7D%5Cle%202.[/img].
Damit ist (**) bewiesen.
Da aber laut Induktionsvoraussetzung gilt a_n>1, kann ein
k so gewählt werden, dass [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?a%5E%7B2%5Ek%7D_n%3E2[/img], im Widerspruch zu (**)!
Somit gilt a_n>1 für alle n.
Damit ist das Lemma bewiesen.
Behauptung: a_{n+1}<a_n für alle n.
Beweis durch Induktion nach n:
n=1: Klar.
n+1:
Nach dem Lemma gilt insbesondere (a_n)^2>1,
also [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_n%7D%3Ca_n[/img] und damit
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?a_n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_n%7D%3C2a_n[/img], d.h.
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft(a_n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_n%7D%5Cright)%3Ca_n[/img].
q.e.d
bei 7b, hab ich auch genau 6 heraus. kann jemand das noch bestätigen?
Kann 7b bestätigen. Siehe
http://www.viprex.de/files/ala_klausur_7.pdf (Endung .odt wie gehabt das OO file).
ja tim, hab ich auch so
Was meinst du denn damit? Und würdest du mir bitte mal deinen Namen verraten, damit ich dich nicht mit anonym ansprechen muss? Danke.
nö, timmy, nur guiltyguy kennt mich;-)
Dong!?
Habe auch mal Aufgabe 8 online gebracht. Habs mal ausführlich gemacht (b), weiß aber nicht, ob Teilaufgabe a so als Lösungsweg reicht. Oder muss ich da noch mehr berechnen?
http://www.viprex.de/files/ala_klausur_8.pdf (Endung .odt wieder einmal das OO file)…
super, hab ich auch so raus.
nur
wieso ist b) indefinit?
weil das vorzeichen nicht alterniert und nicht alle positiv
weil das vorzeichen nicht alterniert und nicht alle positiv
genau richtig.
Habe auch mal schnell die Lösungen zu Aufgabe 3 online gestellt: Bitte korrigieren, falls nötig.
http://www.viprex.de/files/ala_klausur_3.pdf (Endung .odt das OO file)
bei 3b)
wenn 2>0 dann haben wir doch ein Min , oder?
Yepp, du hast recht. Wollte das mit Sicherheit auch schreiben, zumal es im meiner Kladde hier auch als Minimum steht. habe es mal schnell gefixed.
Hat jemand Lösungsvorschläge für 5b? Für x=0 konvergiert die Reihe natürlich. (1/5)
Und dann weiterrechnen mit dem Quotientenkriterium? dann bekomme ich: x * lim -4/5
Was sagt mir das jetzt?
Würdet ihr mal eure Lösungen zu Aufgabe 5 zu Papier bringen und online stellen? Meinetwegen auch einfach nur abfotografieren.
So kann ich mir die Aufgabe nämlich mal erklären, weil ich von den Kriterien keine Ahnung habe und nur anhand des Skriptes das auch nicht gepeilt bekomme (leider habe ich auch keine Lösung zu den Übungsaufgaben von damals).
Ich habe mich dafür nochmal an Aufgabe 1 versucht und sie auch online gestellt:
http://www.viprex.de/files/ala_klausur_1.pdf (Endung .odt das OO file)
Kommentare? Habt ihr die gleichen Lösungen? Zumindest habe ich bei 1b für den Fall -5 < x < 3 eine andere Lösungsmenge als im Lösungspost hier im Thread.
Mittlerweile habe ich auch Aufgabe 6 und Aufgabe 5 (zumindest zum Teil online).
http://www.viprex.de/files/ala_klausur_5.pdfhttp://www.viprex.de/files/ala_klausur_6.pdfWäre allerdings schön, wenn das auch mal jemand kommentieren würde. ich bin hier doch nicht der einzige, der noch die Klausur schreiben muss?
http://www.viprex.de/files/ala_klausur_5.pdf
Beim Teil b) hab ich die Konvergenz in der Klausur auch so kompliziert gezeigt… aber eigentlich kann man schon sehen, dass man den Grenzwert nicht so leicht ausrechnen kann - es muss also irgendeiner bekannten Reihe entsprechen, für die wir den Grenzwert schon kennen. Tipp: Zieh mal eine (-5) vor das Summenzeichen, dann haben alle Terme den gleichen Exponenten und lassen sich super zusammenfassen. Wenn man dann ins Skript guckt, fällt es einem wie Schuppen aus den Haaren und man ärgert sich, dass man die Grenzen für x so umständlich bestimmt hat.
So kann ich mir die Aufgabe nämlich mal erklären, weil ich von den Kriterien keine Ahnung habe und nur anhand des Skriptes das auch nicht gepeilt bekomme (leider habe ich auch keine Lösung zu den Übungsaufgaben von damals).
Übungsaufgabenlösungen von damals kann ich abfotografieren, wenn Du noch was brauchst.
Ich benötige eigentlich noch die Lösungen von Übungs-Blatt 9. Wen du da so lieb wärst… ;-)
Und leider war ich zu doof die Lösung von georg zu Aufgabe 2 aus der Klausur nicht rauszukopieren. Da nun schon seit längerer Zeit das Latex Skript nicht geht und somit auch seine Lösung hier auf der Seite nicht mehr angezeigt wird, möchte ich jemanden bitten seine Lösungen zu Aufgabe 2 online zu stellen bzw. mir mit meiner Lösung nochmal zu helfen. Wir sind gestern auch zu 2. nicht drauf gekommen ;-(
Zu Aufgabe 5: Das meiste lässt sich ganz gut mit dem Quotientenkriterium berechnen. Nur was ist, wenn lim ak+1/ak gegen 1 konvergiert?!
Wo ist eigentlich der Ort des Schreckens morgen?
Ich benötige eigentlich noch die Lösungen von Übungs-Blatt 9. Wen du da so lieb wärst… ;-)
Ha, das ist gerade das Blatt mit den wenigsten Punkten. Ich glaube, da hatte ich aus irgendeinem Grund keine Zeit. Aber einigermaßen nützlich ist es vielleicht trotzdem:
Lösungen Blatt 9Und leider war ich zu doof die Lösung von georg zu Aufgabe 2 aus der Klausur nicht rauszukopieren.
Wenn Du so tust, als würdest Du seinen Beitrag zitieren wollen, kommst Du immerhin an den Latex-Code ran. Und der hat noch gewisse Ähnlichkeiten zu dem OpenOffice-Formeleditor-Code (den benutzt Du ja öfter mal, oder?), also das daraus wieder abzuleiten, sollte einfacher sein, als das ganz neu auszurechnen. (Es gibt bestimmt auch irgendwo im Internet ein Formular, in das Du LaTeX-Code eingeben kannst und eine Grafik rausbekommst.)
So,
hier nochmal als PDF.
@Jan: guter Tipp mit dem Zitieren, da bin ich gar nicht drauf gekommen. Danke! Und auch vielen Dank für deine Lösungen von Blatt 9. Das ist zumindest viel mehr als ich habe *gg
@Georg: Klasse, das ist noch besser als zitieren ;-) vielen vielen Danke!
An Aufgabe 5 sitze ich gerade. Ich habe fast alle Ergenisse anders als im Lösungspost hier im Thread. Habe ich mich bei Aufgabe 5 so verhauen? Kann mir da vll. noch jemand Hilfe geben, besonders bei den rot markierten Sachen? Danke!
http://www.viprex.de/files/ala_klausur_5.pdf
http://www.viprex.de/files/ala_klausur_5.pdf
Beim Teil b) hab ich die Konvergenz in der Klausur auch so kompliziert gezeigt… aber eigentlich kann man schon sehen, dass man den Grenzwert nicht so leicht ausrechnen kann - es muss also irgendeiner bekannten Reihe entsprechen, für die wir den Grenzwert schon kennen. Tipp: Zieh mal eine (-5) vor das Summenzeichen, dann haben alle Terme den gleichen Exponenten und lassen sich super zusammenfassen. Wenn man dann ins Skript guckt, fällt es einem wie Schuppen aus den Haaren und man ärgert sich, dass man die Grenzen für x so umständlich bestimmt hat.
Momentan habe ich einfach nur Schuppen auf den Augen und werde die nicht mehr los ;-) habe Aufgabe 5b nochmal aktualisiert. Ist denn die Bestimmung von x überhaupt richtig? Oder stimmt der Weg dazu? Weil Jan das in seinen Lösungsblättern immer anders gemacht hat (mit R = 1/lim(an/an+1)).
Wie schaut Teil a aus?
Bei 3k / k+3 habe ich einfach ausquadriert, dann lim und mit l'hopital
dann 1 raus.
Laut skript divergiert die reihe wenn nach dem quotientenkrit. >=1 raus kommt.
S.84 oben b)
- stevie
Laut skript divergiert die reihe wenn nach dem quotientenkrit. >=1 raus kommt.
S.84 oben b)
Wenn für den Grenzwert 1 rauskommt, kann keine Aussage gemacht werden, nur für >1, <1.
(Im Skript weiter unten)
Wie zeigt man aber dann Konvergenz/Divergenz, wenn Quotienten/Wurzelkriterium nicht greifen ?
Am oben genannten Beispiel
Sum( 3k / (k+3) )
und
Sum( 3 / (k+3) )
Beide liefern für die Wurzel/Quotienkrit. =1
Danke, falls wer zu helfen weiß
bzgl 3k / k+3 habe ich meine Lösung aktualisiert. Aber mit 3 / k+3 komme ich auch nicht weiter ;-(
Wieso geht das nicht mit dem Qurzelkriterium? Ich bekomme da nicht 1, sondern 0 raus => konvergent.
welche reihe meinst du denn? Und wie lautet der weg? kannst du den hier reinstellen bzw. wenigstens abfotografieren?
Mokrates spackt grad wieder
Ahhhhhh ;)
Ich habe dafür 2 Lösungsansätze mit unterschiedlichen Ergebnissen *gg
http://www.viprex.de/files/ala_klausur_5_a_3.pdf
ad 1. Ansatz
Schau dir lieber nochmal die Regeln fürs Bruchrechnen an.
ad 2. Ansatz
Nichts anderes habe ich oben versucht zu posten. Also konvergent.
was ist denn bei 1 falsch?
zu 2: jepp, dann habe ich dich ja richtig verstanden ;-)
die k-te wurzel von 3 konvergiert eher gegen 1, denn das heißt ja nichts anders als (1,…)^k = 1,…*1,… usw = 3 . für alle zahlen kleiner 1 und größer oder gleich 0, wird ja die rechte seite mit steigendem k immer kleiner bzw ist gleich 0.
http://www.viprex.de/files/ala_klausur_5_a_3.pdf
Zu 1.: Richtig gedacht und richtig geantwortet. Ich sehe keinerlei
Anzeichen für mangelnde Kenntnisse im Bereich der Bruchrechnung [img]
http://www.fb18.de/gfx/2.gif[/img]
Nur scheinst du bei der Argumentation unsicher zu sein.
Du kannst hier z.B. schreiben:
Wenn die Reihe konvergieren würde, dann auch die Reihe
\sum_{k=3}^\infty 1/k. Aber dann würde auch
1 + 1/2 + \sum_{k=3}^\infty 1/k = \sum_{n=1}^\infty 1/n
konvergieren, Widerspruch!
Zu 2.:
Zunächst ist die erste Gleichung falsch. Die beiden Grenzwerte
sind nicht gleich, sondern du benutzt den rechten, um Aussagen
über den linken zu machen.
Außerdem ist der Grenzwert der Folge ein anderer:
(1) Die k-te Wurzel aus 3 konvergiert gegen 1, nicht gegen 0.
(2) Die k-te Wurzel aus k+3 konvergiert gegen
\lim_{k\rightarrow\infty} \sqrt[k]{k+3}=\lim_{k\rightarrow\infty}\sqrt{k-3}{k}=\lim\frac{\sqrt[k]{k}}{\sqrt{3}{k}}=0,
also divergiert die Reihe auch nach dem Wurzelkriterium.
Edit: Ups, da hab ich mich verrechnet. Der Grenzwert von
\sqrt[k]{k+3} ist 1, denn man kann die Folge von oben durch
\sqrt[k]{2k} und von unten durch \sqrt[k]{k} abschätzen, und
beide konvergieren gegen 1. Also sagt das Wurzelkriterium hier
nichts aus.
Also ich rechne wie folgt:
\lim_{i\to\infty} \sqrt{i}{i+3}=\lim_{i\to\infty} e^{ln(i+3)^\frac{1}{i}}=\lim_{i\to\infty} e^{\frac{1}{i}ln(i+3)}=\lim_{i\to\infty} e^{\frac{ln(i+3)}{i}}=\lim_{i\to\infty} e^{\frac{\frac{1}{i+3}}{1}}=e^0=1
Wo ist der Fehler?
Also ich rechne wie folgt:
\lim_{i\to\infty} \sqrt{i}{i+3}=\lim_{i\to\infty} e^{ln(i+3)^\frac{1}{i}}=\lim_{i\to\infty} e^{\frac{1}{i}ln(i+3)}=\lim_{i\to\infty} e^{\frac{ln(i+3)}{i}}=\lim_{i\to\infty} e^{\frac{\frac{1}{i+3}}{1}}=e^0=1
Wo ist der Fehler?
Wie gesagt (bzw. editiert): das mit Grenzwert 0 war verrechnet.
Bei dieser Rechnung kann ich allerdings nicht nachvollziehen,
warum du (ln(i+3))/i ersetzen kannst durch 1/(i+3). Aber das
Ergebnis (also Grenzwert 1) hab ich ja auch raus (siehe editiertes Posting).
Achso ok, dann sind wir uns ja einig. Habe einfach die Regel von de l'Hospital angewendet.
die Regel von de l'Hospital
Ah, sehr schön! [img]
http://www.fb18.de/gfx/23.gif[/img]
Sorry, aber was habt ihr da oben geschrieben? Falls das Latex sein sollte, wie kann ich mir daraus mal schnell etwas lesbares erzeugen? ich bin da Neuling und habe da heute kein Zeit mehr zu mir das anzueignen.
Falls es kein Onlinetool gibt (ich finde zumindest keines auf die Schnelle), was bedeutet frac? Alles andere kann man sich dann schon irgendwie selber erklären!
\frac{zaehler}{nenner} ist ein Bruch.
Danke!
Falls es noch jemand benötigt:
http://www.viprex.de/files/ala_klausur.pdfDort sind meine Lösungen zusammengefasst in einer pdf. Unter Endung .odt wie immer das Open Office.org file.
Viel Erfolg morgen und euch hier vielen Dank für die Hilfe!
Falls es noch jemand benötigt:
http://www.viprex.de/files/ala_klausur.pdf
Noch ist gut, kurz davor hatte ich alle Einzelfiles schon zusammen zum drucken geschickt. Kannste vielleicht nochmal die Änderungen gegenüber denen zusammenfassen?
-rw-r--r-- 1 harzi harzi 69546 2006-10-01 22:32 ala_klausur_1b.pdf
-rw-r--r-- 1 harzi harzi 71803 2006-10-09 20:07 ala_klausur_1.pdf
-rw-r--r-- 1 harzi harzi 69601 2006-10-09 20:07 ala_klausur_2.pdf
-rw-r--r-- 1 harzi harzi 66693 2006-10-09 20:07 ala_klausur_3.pdf
-rw-r--r-- 1 harzi harzi 74523 2006-10-09 20:08 ala_klausur_4.pdf
-rw-r--r-- 1 harzi harzi 59480 2006-10-09 20:32 ala_klausur_5_a_3.pdf
-rw-r--r-- 1 harzi harzi 84723 2006-10-09 17:12 ala_klausur_5.pdf
-rw-r--r-- 1 harzi harzi 72993 2006-10-09 20:08 ala_klausur_6.pdf
-rw-r--r-- 1 harzi harzi 63203 2006-10-09 20:08 ala_klausur_7.pdf
-rw-r--r-- 1 harzi harzi 67377 2006-10-06 18:36 ala_klausur_8.pdf
EDIT: filegrößen hinzugefügt, falls es da verschiedene versionen gab.
EDIT2: foto vom vorbereitungsaufgabenlösungszettel aus der Liste gelöscht
Sorry, bin gestern Abend dann ins Bett gegangen. Aber ich hätte dir auch nur durch vergleichen die Änderungen mitteilen können. Die letzten Einzelfiles haben aber den gleichen Inhalt wie das Gesamtdokument.
he, tim? hat mensa für ein kaffee auf?
Mir hat die Klausur gefallen heute [img]
http://www.fb18.de/gfx/14.gif[/img]
Klausur war ok. War nach 1 Stunde mit 6 von 8 Aufgaben fertig. Die waren fast 1 zu 1 wie in der 1. Klausur.
Aufgabe 2 und Aufgabe 3 war dann bei mir der Knackpunkt und hat mich die letzte Stunde gekostet ;-)
War eine sehr faire Klausur, fand ich.
Eine bessere Vorbereitung hätte sicherlich eine 4.0 bedeutet, aber so, Aufgabe 2 hat mir echt das Genick gebrochen, mal abgesehen davon das ich an der partialbruchzerlegung auch total gescheitert bin..Naja, Glückwünsch an die die nen gutes Gefühl haben und hoffentlich bestanden haben :)
yo, klausur-level war imho ok und habe mich gut vorbereitet gefühlt.
dass am ende hier und da fehler sind lässt sich wahrscheinlich nur sehr schwer verhindern, aber grosses dank an viprex, dessen partialbruchzerlegung mir beim lernen und in der klausur über die
kritische letzte hürde half PBZ zu verstehen.
Tja, ich habe mir di ePBZ heir zu Hause in mühsamen 4 Stunden reingeprügelt. Hatte die bis dato auch nie verstanden und habe es wahrscheinlich immer noch nicht, zumindest wenn dann schwerere Fälle kommen. ;-)
Freut mich für dich!
Habt ihr denn auch bei der Klausur in der Aufgabe mit dem Doppelintegral für a und b jeweils 12 herausbekommen?
ja, habe ich auch. Ein kommilitone hat bei b aber 6 rausbekommen. Bekommt noch jemand die Aufgabe zusammen? Dann könnte man mal fix nachrechnen.
ich erinnere mich gar nicht daran ;-(
Also das Dreieck war 12, bei a hatte ich aber was anderes, ka was :D
ne, bei a kommt 12 raus! bei b hab ich mich vedusselt;-)
Ok, falls es noch jemand benötigt. Irgendwann mal:
http://rapidshare.de/files/37072438/ala_klausur.pdf.htmlhabe die einzelnen Versionen alle von meinem Webspace verbannt, greift ja jetzt eh keiner mehr drauf zu. Und alle zukünftigen können es unter og. Link ziehen oder irgendwann nochmal fragen. Sorry ;-)
Alle Links hier sind inzwischen tot.
Sind die Informationen trotzdem noch irgendwo verfügbar?
Vielen Dank im voraus…
Alle Links hier sind inzwischen tot.
Sind die Informationen trotzdem noch irgendwo verfügbar?
Zumindest die Klausuraufgaben sind noch als
Gedächtnisprotokoll verfügbar (einfach nach ALA suchen), allerdings war ALA letztes Jahr von Andrea und nicht von Andreae.
Die Lösungen habe ich leider auch nicht, aber vielleicht kann sie jemand ins Wiki laden, jetzt, wo wir wissen, wie es geht?