kann mir mal jemand bitte bei folgender aufgabe helfen:
zeige die konvergenz und bestimme den grenzwert der folge
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?a_n%20=%20%5Cfrac%7B(n+1)!%7D%7Bn%5E%7B(n+1)%7D%7D[/img]
Naja, du hast im Zaehler und im Nenner jeweils (n+1) Faktoren. Kann man da irgendwas abschaetzen?
ja stimmt, die anzahl der faktoren dürfte natürlich nicht von n abhängig sein. dann überlege ich mal weiter.
und wie sieht es aus, wenn ich es direkt mit der defintion versuche?
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%7Ca_n-0%7C%20%3C%20%5Cepsilon%20%5CLeftrightarrow%20%7Ca_n%7C%20%5Cleq%7C%5Cfrac%7Bn%2B1%7D%7Bn%7D%7C%20%20%3D%201%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%20%3C%20%5Cepsilon%20%5CLeftrightarrow%20n%20%3E%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cepsilon%20-1%7D[/img]
(1) Die erste Richtung nach rechts stimmt nicht,
aber die ist ja auch nicht nötig.
(2) Zur zweiten Äquivalenz: Vorsicht, die Umformung
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?a%3Cb%5CLeftrightarrow%5Cfrac%7B1%7D%7Bb%7D%3C%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D[/img]
erfordert a,b>0, was aber hier nicht erfüllt ist,
wenn Epsilon kleiner als 1 ist.
Die Aufgabe kann viel einfacher behandelt werden, man
muss nur eine Majorante finden, die durch Weglassen
gewisser Faktoren entsteht und deren Grenzwert sofort
auf den dieser Folge schließen lässt. Siehst du's?
Aber 1+1/n mit n aus |N und epsilon (laut Def. >0) sind doch beide größer 0…?
ah ok seh schon epsilon-1>0 gilt natürlich nicht für alle epsilon.
Die Aufgabe kann viel einfacher behandelt werden, man
muss nur eine Majorante finden, die durch Weglassen
gewisser Faktoren entsteht und deren Grenzwert sofort
auf den dieser Folge schließen lässt. Siehst du's?
Ne, sehe ich irgendwie nicht.Das Einzige, was mir noch einfällt:
Wenn man die Faktoren des Zählers ausmultiplizieren würde, würde man immer maximal die n-te Potenz von n bekommen, da der letzte Faktor der Fakultät ja immer 1 ist, während im Zähler n immer in n+1-ter Potenz auftritt und deshalb komvergierts gegen 0 (?).
Oder meintest du es so?
Ich lasse alle Faktoren von 2 bis n weg und habe damit eine Majorante, da diese ja aller kleiner oder gleich 1 sind, welche gegen 0 konvergiert:
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Clim_%7Bi%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B(n-1)%7D%7Bn%5E2%7D%20=%200[/img]
Die Aufgabe kann viel einfacher behandelt werden, man
muss nur eine Majorante finden, die durch Weglassen
gewisser Faktoren entsteht und deren Grenzwert sofort
auf den dieser Folge schließen lässt. Siehst du's?
Ne, sehe ich irgendwie nicht.
Dann lass mal alle Faktoren außer dem ersten und
dem letzten weg. Was da rauskommt ist eine Majorante
und hat einen einfach bestimmbaren Grenzwert.
Das Einzige, was mir noch einfällt:
Wenn man die Faktoren des Zählers ausmultiplizieren würde, würde man immer maximal die n-te Potenz von n bekommen, da der letzte Faktor der Fakultät ja immer 1 ist, während im Zähler n immer in n+1-ter Potenz auftritt und deshalb komvergierts gegen 0 (?).
Ich wüßte gerade nicht, wie man das vervollständigen könnte. [img]
http://www.fb18.de/gfx/2.gif[/img]
Zumal die andere Lösung sehr einfach ist.
Oder meintest du es so?
Ich lasse alle Faktoren von 2 bis n weg und habe damit eine Majorante, da diese ja aller kleiner oder gleich 1 sind, welche gegen 0 konvergiert:
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Clim_%7Bi%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B(n-1)%7D%7Bn%5E2%7D%20%3D%200[/img]
Äh, ja, aber mit + statt - [img]
http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img]
Äh ja sollte natürlich (n+1) heißen.
Und wie ist deine Meinung nun zu meinem anderen Argument, welches übrigens lauten sollte:
"Das Einzige, was mir noch einfällt:
Wenn man die Faktoren des Zählers ausmultiplizieren würde, würde man immer maximal die n-te Potenz von n bekommen, da der letzte Faktor der Fakultät ja immer 1 ist, während im Nenner n immer in n+1-ter Potenz auftritt und deshalb komvergierts gegen 0 (?)."
Danke für deine Mühe ;)
Und wie ist deine Meinung nun zu meinem anderen Argument, welches übrigens lauten sollte:
"Das Einzige, was mir noch einfällt:
Wenn man die Faktoren des Zählers ausmultiplizieren würde, würde man immer maximal die n-te Potenz von n bekommen, da der letzte Faktor der Fakultät ja immer 1 ist, während im Nenner n immer in n+1-ter Potenz auftritt und deshalb komvergierts gegen 0 (?)."
Das Problem dabei ist, dass noch eine ganze Menge fehlt.
Du müßtest erstmal genau sagen, was du oben wie ausmultiplizieren
willst, man könnte vermuten, dass du meinst
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cprod_%7Bi%3D0%7D%5En%20(n-i%2B1)[/img].
Und dann sagst du "bekommt man maximal die n-te Potenz
von n", aber es ist ja lediglich so, dass der Buchstabe n
ohne weitere Faktoren so häufig auftritt. Die anderen
Faktoren und Summanden können ja nicht vernachlässigt
werden (vor allem, wenn z.B. die Zahl der Summanden von
n abhängt…). Man hat es ja hier nicht mit Polynomen
zutun, sondern die sich verändernde Größe beeinflußt
auch die Zahl der Summanden, die Koeffizienten usw.
Wie also dein "(?)" schon zeigt: mit dem, was du sagst,
ist noch lange nicht klar, wie sich die Folge verhält.
