Hallo,
ich hänge bei Aufgabe 2a.) von Blatt 8 fest:
http://www.triphoenix.de/wiki/files/0/06/ALA_2006_Blatt08.pdfMuss ich die Reihe irgendwie zerlegen ?
Hab irgendwie keinen Ansatz und im Skript wurde auf konkrete Beispiele leider verzichtet.
Kann mir da jemand helfen?
In diesem Fall kann man schonmal schnell vermuten,
dass die Reihe divergiert, weil die Summanden alle
in der Nähe von 1 oder -1 liegen: mit der Addition
jedes Summanden ändert sich also die Partialsumme
noch um (ca) 1 bzw. -1.
Formal kann man so argumentieren: In einer
konvergenten Reihe muss die Folge der Summanden eine
Nullfolge sein, dann aber wäre auch die Folge der
Beträge der Summanden eine Nullfolge, aber die
konvergiert hier offenbar gegen 1.
Das müsstest du natürlich noch ein bisschen
detaillierter schreiben.
OK? [img]
http://www.fb18.de/gfx/23.gif[/img]
Danke.
Habs jetzt mit dem Quotientenkriterium durchgerechnet und da kam raus, dass die Reihe konvergiert. Also muss lim ai = 0 sein.
Kann das jemand bestätigen? (es geht noch um die Aufg 2a vom Blatt8)
Danke.
Habs jetzt mit dem Quotientenkriterium durchgerechnet und da kam raus, dass die Reihe konvergiert. Also muss lim ai = 0 sein.
Hmm, ich hatte eigentlich versucht anzudeuten, dass
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Clim_%7Bi%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7Ca_i%7C%3D1[/img] ist, was ja die Divergenz impliziert [img]
http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img]
Beim Quotientenkriterium musst du aufpassen, dass es nur
dann die Konvergenz garantiert, wenn es ein festes g<1 gibt
mit
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cleft%7C%5Cfrac%7Ba_%7Bi%2B1%7D%7D%7Ba_i%7D%5Cright%7C%5Cle%20g[/img]
für alle i ab einer gewissen Grenze (bzw. formuliert man
es manchmal auch (etwas schwächer) so:
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Clim_%7Bi%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Cleft%7C%5Cfrac%7Ba_%7Bi%2B1%7D%7D%7Ba_i%7D%5Cright%7C%3C1[/img],
je nachdem, wie's jetzt bei euch behandelt wurde).
Hier tritt aber genau der Fall ein, auf den man immer
aufpassen muss: |a_{i+1}/a_i| konvergiert gegen 1, also
sind beide Bedingungen nicht erfüllt, also hilft das
Quotientenkriterium hier nicht weiter.
Öhm…
Weiß jetzt nicht genau, ob wir von der gleichen Aufgabe sprechen.
ich bekomme nämlich beim Berechnen des lim |ai+1 / ai|=1/5 heraus, was ja keine divergenz wäre.
Ist auch schonmal gut zu wissen, dass =1 eine Divergenz bedeutet. Das wurde im Skript nämlich außen vor gelassen.
Weiß jetzt nicht genau, ob wir von der gleichen Aufgabe sprechen.
Nein, sprecht ihr nicht. Georg hat die erste 2 a) genommen, die's auf dem Zettel gab, aber Du meintest anscheinend die aus dem B-Teil und nicht die aus dem Präsenzteil. [img]
http://www.fb18.de/gfx/2.gif[/img]
Hmm, ich hatte eigentlich versucht anzudeuten, dass
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Clim_%7Bi%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7Ca_i%7C%3D1[/img] ist, was ja die Divergenz impliziert [img]http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img]
Ist auch schonmal gut zu wissen, dass =1 eine Divergenz bedeutet. Das wurde im Skript nämlich außen vor gelassen.
Ja, das steht nicht direkt beim Leibniz-Kriterium dabei, aber das ist im Grunde nur eine Anwendung von Satz 1 (S. 82), der da sagt:
Wenn eine Reihe konvergiert, muss die zugehörige Folge eine Nullfolge sein.
Und wenn die Folge ohne das "minus eins hoch i" schon nicht gegen Null konvergiert, dann auch nicht die ursprüngliche Folge. Also kann die Reihe nicht konvergent sein.
(Andersrum geht's übrigens nicht - wenn Du eine Nullfolge hast, heißt das nicht unbedingt, dass die zugehörige Reihe auch konvergiert.)
ich bekomme nämlich beim Berechnen des lim |ai+1 / ai|=1/5 heraus, was ja keine divergenz wäre.
Richtig gerechnet und richtig gefolgert. Und wenn Du nun auch noch den Grenzwert haben willst, musst Du den Bruch etwas umformen. Statt des (i+2) kannst Du ja auch einfach (i) schreiben, ohne was am Wert zu ändern (Du kürzt damit ja nur "minus 1 hoch zwei" raus). Und dann kannst Du was zusammenfassen und erkennst eine bekannte Folge von S. 82 wieder, deren Grenzwert wenige Seiten später auch berechnet wird.
Weiß jetzt nicht genau, ob wir von der gleichen Aufgabe sprechen.
Nein, sprecht ihr nicht. Georg hat die erste 2 a) genommen, die's auf dem Zettel gab, aber Du meintest anscheinend die aus dem B-Teil und nicht die aus dem Präsenzteil. [img]http://www.fb18.de/gfx/2.gif[/img]
Oh, tatsächlich![img]
http://www.fb18.de/gfx/9.gif[/img] Hab garnicht so weit gelesen…
Oh, tatsächlich![img]http://www.fb18.de/gfx/9.gif[/img] Hab garnicht so weit gelesen…
Bis zu seinem Post heute um 0:10 konnte auch niemand wissen, von welcher Aufgabe er spricht. [img]
http://www.fb18.de/gfx/3.gif[/img]
Richtig gerechnet und richtig gefolgert. Und wenn Du nun auch noch den Grenzwert haben willst, musst Du den Bruch etwas umformen. Statt des (i+2) kannst Du ja auch einfach (i) schreiben, ohne was am Wert zu ändern (Du kürzt damit ja nur "minus 1 hoch zwei" raus).
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Dankeschön.
Aber laut Skript kann man doch davon ausgehen, dass ai gegen 0 gehen muss, wenn Konvergenz vorliegt. Da versteh ich nicht, warum ich noch was berechnen soll… oder hab ich das in den falschen hals bekommen?
Sorry wegen der unkonkreten Aufgaben-Angaben…:-|
Alles klar, danke Georg.
Aber laut Skript kann man doch davon ausgehen, dass ai gegen 0 gehen muss, wenn Konvergenz vorliegt. Da versteh ich nicht, warum ich noch was berechnen soll… oder hab ich das in den falschen hals bekommen?
Die Folge ai geht 0, wenn die zugehörige Reihe konvergiert. Damit weißt du ja aber noch nix über den Grenzwert der Reihe (außer, dass es möglich ist, dass sie konvergiert).
