Bei meiner Vorbereitung auf die ALA-Klausur stellt sich mir folgende Frage:
Wie sieht die Restgliedabschätzung für die Binomialreihe aus, wenn ich zeigen möchte, dass diese die Funktion (1+x)^r, wobei r eine nicht-natürliche Zahl ist, beschreibt?

Die n-te Ableitung sieht ja so aus:
r(r-1)(r-2)…(r-n+1)(1+x)^(r-n)

Wie kann ich das nun abschätzen bzw. eine Konstante M angeben, damit ich erhalte, dass das Restglied für x aus (-1,1) gegen 0 konvergiert?

Da scheint mir die Lagrangesche Form des Restglieds
geeignet zu sein. Wenn ich das richtig sehe, besteht
die aus drei Faktoren, von denen zwei gegen Null
konvergieren und einer beschränkt ist.

Klappt es damit?

Ne, nicht so ganz. Also die lagrangesche Form ist ja
R(x)=f^(n+1)(t)|x|^(n+1)/(n+1)! = r(r-1)(r-2)…(r-n)(1+t)^(r-n)|x|^(n+1)/(n+1)!,
wobei t aus einem Intervall [a,b] ist, welches x enthält (es gilt außerdem x_0=0).

Ich sehe nicht, wieso das für n gegen unendlich nur für x aus (-1,1) gegen 0 konvergiert.

Ich weiß nicht genau, warum du da Betragsstriche
um's x schreibst, vielleicht hast du ne andere
Lagrange-Formel als ich? Aber ist eigentlich egal,
der Beweis geht genauso.

Nach Wikipedia ist ja
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?R_n(x)%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7B(n%2B1)%7D(t)%7D%7B(n%2B1)!%7D(x-a)%5E%7Bn%2B1%7D%3D%5Cfrac%7Br(r-1)%5Ccdots(r-n)(1%2Bt)%5E%7Br-n%7D%7D%7B(n%2B1)!%7D%5Ccdot%20x%5E%7Bn%2B1%7D[/img],
wobei t zwischen 0 (der Entwicklungspunkt) und x liegt, also
|t|<1. Damit ist
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?(1%2Bt)%5E%7Br-n%7D%3D%5Cfrac%7B(1%2Bt)%5Er%7D%7B(1%2Bt)%5En%7D%5Cle%20(1%2Bt)%5Er%3C2%5Er[/img]
(da t von n abhängen kann, kann man hier nicht zeigen, dass der
Faktor gegen 0 geht, aber so gehts ja auch…) und [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?x%5E%7Bn%2B1%7D[/img] geht
gegen 0 wegen |x|<1. Und der Faktor
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cfrac%7Br(r-1)%5Ccdots(r-n)%7D%7B(n%2B1)!%7D[/img]
ist doch für große n und positive r kleiner als 1 (da muss man ein
bisschen rechnen), oder nicht?
(Hm ich sehe gerade, dass der Faktor für negative r nicht
bechränkt ist. Aber dann liegt ja das Inverse einer Funktion
mit Taylor-Reihe vor und es gibt (glaube ich) Sätze die sagen,
dass das Inverse einer Funktion unter gewissen Umständen auch
analytisch ist. Da wäre also noch was zutun!)
Also sind zwei Faktoren beschränkt und einer geht gegen 0.

Aber im Königsberger findest du auch einen ganz anderen
(schönen!) Beweis für die Binomialreihe, und zwar für
beliebige komplexe r. Der zeigt, dass eine gewisse Funktion,
die im Zusammenhang mit der Binomialreihe steht, Eigenschaften
hat, die die Exponentialfunktion eindeutig charakterisieren.
Und daraus wird dann gefolgert, dass die Binomialreihe mit
der Funktion (1+x)^r übereinstimmt.