Aufgabe:
Berechne
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http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cint%20%5Cint%5Climits_G%20f(x,y)%20d(x,y)[/img] für f(x,y) = x und das Dreieck G mit den Eckpunkten (0,0), (2,1), (4,0).
(Hinweis: Zerlege G in zwei Dreiecke.)
Soweit so gut - ich teile das Dreieck so, dass ich es praktisch in der Mitte schneide.
Jetzt könnte ich die Rechnung für die beiden Dreiecke erstellen.
ABER: Warum kann ich nicht das rechte Dreieck "auf die linke Seite klappen"? Dadurch erhalte ich dann ein Rechteck, für das ich nur eine Rechnung benötige.
Die Ergebnisse sind leider verschieden, somit wird der Weg wohl nicht gehen - aber wieso nicht?
Du möchtest ja 'quasi' ein Volumen ausrechnen. Das Volumen des Graphen über dem angegebenen Dreieck.
Wenn du das rechte Dreieck über das andere klappst, nimmst du ja einen anderen Bereich deiner Funktionsfläche. Nur wenn die Funktion zufällig an der neue Position das selbe Volumen wie an der ehemaligen, bekommst du auch das selbe Gesamtvolumen heraus!
z.B. folgende Funktion:
Wir haben das o.G. Dreieck und nennen dessen Bereich G:
f(x,y) = {1 falls (x,y) in G, andernfalls 0}
Wenn du nun das ursprüngliche Dreieck nimmst hast du einfach 1*Flächeninhalt. (Weil die Funktion beim Dreieck konstant 1 ist.)
Wenn du aber die Hälfte rüber klappst, hast du nur noch die Hälfte, denn bei dem verschobenen Dreieck ist die Funktion jetzt konstant 0.
Ist das einigermaßen verständlich gewesen?
mfg
- eth
Danke für deine Mühe, aber ehrlich gesagt konnte ich deinen Gedankengang nicht nachvollziehen.
Ich werd mich wohl dran halten, dass sowas nicht geht und rechne dann weiter mit Teil-Dreiecken.
Okay, ich versuchs nochmal:
Stell dir mal ein Gebirge vor. Dieses Gebirge ist unsere Funktion von (x,y). f(x,y) ist dann die Höhe des Gebirges an einer Position.
Jetzt guckst du von oben auf das Gebirge und zeichnest gedanklich dein Dreieck. Was du mit dem Integral ausrechnest, ist quasi das Volumen des Gebirges unter dem Dreieck.
Wenn du nun die Hälfte des Dreiecks woanders hintust, dann ändert sich natürlich das Volumen, denn du hast nun einen anderen Teil des Gebirges darunter! Und dieser Teil hat (meistens) ein anderes Volumen.
Naja, ich bin kein studierter Didakt…
- eth
Ich gebe zur Unterstützung noch ein Bild dazu:
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http://kram.triphoenix.de/3dgraph.png[/img]
Der Einfachheit halber können wir das hier mit einem Rechteck machen. Wenn du nun die Fläche unter dem Rechteck etwa ganz links in der Ecke nimmst, dann wird es viel weniger sein, als wenn dein Rechteck etwa in der Mitte, wo der Berg höher ist, liegt. Dabei ist die Größe des Rechtecks immer gelich groß gewesen, also spielt auch die Position eine wichtige Rolle.
ohhhh, matlap
Um Himmels Willen, Nein! [img]
http://www.fb18.de/gfx/2.gif[/img] Gnuplot-4 ist das ja wohl! [img]
http://www.fb18.de/gfx/24.gif[/img]
ABER: Warum kann ich nicht das rechte Dreieck "auf die linke Seite klappen"? Dadurch erhalte ich dann ein Rechteck, für das ich nur eine Rechnung benötige.
Warum das nicht geht, wurde schon erklärt.
Du kannst aber trotzdem auf nur eine Rechnung kommen: Betrachte einfach die y-Projektion statt der x-Projektion. Statt im äußeren Integral mit der x-Koordinate von links nach rechts musst du mit der y-Koordinate von unten nach oben wandern. Mit der x-Koordinate wanderst Du dann jedesmal vom linken Dreiecksrand zum rechten Dreiecksrand - das heißt von 2y bis 4-2y (das sind die Grenzen für das innere Integral). Also:
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http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cint%5Climits_0%5E1%20%5Cleft%20(%20%5Cint%5Climits_%7B2y%7D%5E%7B4-2y%7D%20f(x%2Cy)%20dx%20%5Cright%20)%20dy[/img]
