Die T-Invariante ist (9,3,4,1). Ansonsten hab ich das auch so.
bei mir nicht, bei mir ist (5,3,4,1) wie bei Lucas W.
Ups, da hab ich die Matrix falsch abgeschrieben! [img]
http://www.fb18.de/gfx/9.gif[/img]
(Das (9,4,3,1)-Posting war von mir, ich war nicht eingelogt…).
(5,3,4,1) hab ich jetzt auch raus.
Und das doppelte der Vektor ist auch eine T-invariante? oder? kann GEORG (bitte) vielleicht helfen ?
Ja, wenn [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?j_1%2C%5Cldots%2Cj_r[/img] T-Invarianten sind,
dann ist sogar jede Linearkombination [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Er%20z_k%20j_k[/img]
(ungleich null) mit [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?z_1%2C%5Cldots%2Cz_r%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D[/img]
wieder eine T-Invariante (sieht man leicht mit der Linearität der
Inzidenzmatrix). Sobald es also eine gibt, gibt es unendlich viele.
(D.h. zu jeder Markierung bildet die Menge der T-Invarianten
eine Halbgruppe).
also, damit das Netz auf m0 wieder zurückkommt ist die T-invariante (5,3,4,1) aber auch (10,6,8,2) oder (20,12,16,4)… also es gibt nicht nur eine T-invariante?
Hier muss man aufpassen: Diese ganzen Vektoren sind T-Invarianten, aber
das alleine heißt noch nicht, dass es dazu auch Schaltfolgen gibt,
die die Anfangsmarkierung wieder herstellen. Wenn die Anfangsmarkierung
z.B. in s1 eine Marke weniger hätte, wäre (5,3,4,1) trotzdem eine
T-invariante, die man aber nicht als Schaltfolge realisieren könnte.
Allerdings gilt wieder analog zu oben: wenn die Vektoren
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?j_1%2C%5Cldots%2Cj_r[/img] T-Invarianten sind
und in
einer bestimmten Markierung m als Schaltfolge realisierbar sind,
dann ist auch jede Linearkombination wie oben eine T-Invariante
und in m als Schaltfolge realisierbar (man hängt einfach die
Schaltfolgen für die einzelnen Vektoren entsprechend der
Linearkombination aneinander).
(D.h. zu jeder Markierung bildet die Menge der schaltbaren
T-Invarianten eine Unterhalbgruppe der T-Invarianten).
aber wie berechnet man die ? keine Ahnung. kann jemand helfen ?
Du kannst z.B. mit der Gauß-Elimination erstmal eine Lösungsbasis
des Gleichungssystems über den rationalen Zahlen finden. Wenn
du darin dann die Komponenten ganzzahlig machst (d.h. mit dem
Hauptnenner der Einträge multiplizierst), hast du eine Lösungsbasis
über den ganzen Zahlen. Wenn du Glück hast (wie z.B. in Aufgabe 4.9
und vermutlich auch in der Klausur), siehst du dann schon, wie eine
Basis über den natürlichen Zahlen aussieht. Ein allgemeines Verfahren,
das für jede Matrix funktioniert, kenne ich nicht, aber man kann
zeigen, dass es immer eine endliche Menge von Vektoren über den
natürlichen Zahlen gibt, deren Linearkombinationen alle T-Invarianten
bilden (wenn es jemanden interessiert, kann ich den Beweis mal posten,
ich weiß nicht, wo es den in der Literatur gibt).
