Hallo,

ich habe 2 Fragen:
1.) Gegeben: Formel F und y eine Variable, die in F nicht vorkommt
Laut Satz 10.9 darf ich nun eine gebundene Variable umbenennen, also
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%24%5Cexists%20x%20F%20%5Cequiv%20%5Cexists%20y%20F_%7B%5Bx%2Fy%5D%7D%24[/img]
In diesem Satz steht auch, dass man freie Variablen NICHT umbenennen darf, da das die Äquivalenz nicht erhält…
Kann mir das jemand an einem Beispiel erläutern, ich finde keines oder verstehe es falsch

2.) Warum gilt die Äquivalenz
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%24(%5Cforall%20x%20F%20%5Crightarrow%20G)%20%5Cequiv%20%5Cexists%20x%20(F%20%5Crightarrow%20G)%24[/img]
??

Danke!


EDIT:
Ich glaube meine 2. Frage hat sich erledigt…
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?$(%5Cforall%20x%20F%20%5Crightarrow%20G)%20%5Cequiv%20(%5Clnot%20%5Cforall%20x%20F%20%5C%20%5Clor%20%5C%20G)%20%5Cequiv%20(%5Cexists%20x%20%5Clnot%20F%20%5C%20%5Clor%20%5C%20G)%20%5Cequiv%20%5Cexists%20x%20(%5Clnot%20F%20%5C%20%5Clor%20%5C%20G)%20%5Cequiv%20%5Cexists%20x%20(F%20%5Crightarrow%20G)$[/img]
So, oder?

1)
ich denke damit ist einer oder beide der folgenden Fälle gemeint:
a)
f = x < 4

Interpretation: x = 2, y = 30.000
f ist wahr

->
x durch y ersetzt,
f bei gleicher Interpretation nicht mehr wahr -> Formeln nicht äquivalent

b)
f = x < y
ist erfüllbar


->
x durch y ersetzt,
f nicht mehr erfüllbar

———
wichtig ist dass freie Variablen eine Bedeutung/ eine Interpretation haben,
gebundene Variaben aber nie, die sind nur ein Hilfsmittel, völlig egal ob die x, y oder schröder heißen


2)
wichtig ist bei dieser Regel der Zusatz 'falls x in G nicht frei vorkommt',
sowas darf man in den Definitionen nicht überlesen,

(Vx F) -> G == (Ex -F) v G == Ex (-F v G) per Skopuserweiterung da ja x in G keine Rolle spielt
== Ex (F -> G)

Ok, vielen Dank, dein Fall a) erscheint mir logisch.
b) klappt hier nicht, da ja y nicht in f vorkommen darf