Hi,
ich habe eine Frage zur der Musterlösung von F1 Blatt 5, Aufgabe 1.b.2. In der Musterlösung steht das man Absorptionsregel anwendetet, das ist mir nicht klar.
Wie Funktioniert überhaupt diese Regel genau.
Man da denk man hat alles verstanden und ist fit für die Prüfung und doch entdeckt man lücken bei sich.
(edit fal: Topictitel)
"!" = nicht, "^" = und, "v" = oder, "==" = äquivalenz
Absorptionssatz nach F1-Skript Satz 4.7:
(F ^ (F v G)) == F
(F v (F ^ G)) == F
D.h. bei der Betrachtung der Wahrheitswerte der Formeln auf der linken Seite ist der Wahrheitswert von G irrelevant - wenn F wahr ist, dann ist die ganze Formel wahr. Wenn F falsch ist, ist die ganze Formel falsch. Wenn dir das nicht klar ist, schau dir mal die Wahrheitstafeln an :-)
In der Aufgabe steht nun:
(!A v B v !C) ^ (A v B v !C) ^ (!A ^ B ^ C)
Dabei fällt auf, dass der Teil hinten ja auch Konjunktionen beinhaltet, keine Disjunktionen - der Mensch, der das Aufgabenblatt erstellt hat, hat einfach Klammern dazu geschrieben, um den Leser zu verwirren (mea culpa). D.h. wegen Assoziativität:
(!A v B v !C) ^ (A v B v !C) ^ !A ^ B ^ C
So, nun aber wissen wir wegen dem Absorptionssatz, dass
(!A v B v !C) ^ !A == !A
und
(A v B v !C) ^ B == B
D.h. die ganze Formel kann man umformen in
!A ^ B ^ C
Wie praktisch! :-)
Ich hoffe, dass dir das hilft. Viel Glück bei der Klausur!
Der Absorbtionssatz ist cool spart man sich ne Menge schreibarbeit^^
Zur Übung kann man ja mal zeigen, dass
(A ^ B ^ C) v A == A
wirklich gilt. Das verwende ich oben, aber das ist ja nicht direkt der Absorptionssatz.
Über diesen Satz bin ich auch gestolpert. Ich hatte beim durchgehen dieses Zettels diese Regel übersehen (bzw. vergessen das es die gibt) und dann versucht diese Aufgabe umzuformen, bis ich dann zu einem ergebniskam in dem ich in einem Teilzweig stehen hatte (!A^A)v… War schon sehr merkwürdig, in so einem fall kann man diesen Term einfach weglassen, oder?
Nachdem ich in der Musterlösung die Anwendung des Absorptionssatzes gesehen habe, habe ich mir gedacht: "Mensch, wie praktisch. Den merk ich mir!"
Und so wird's hoffentlich gehandhabt in meinen grauen Zellen [img]
http://www.fb18.de/gfx/15.gif[/img]
Zur Übung kann man ja mal zeigen, dass
(A ^ B ^ C) v A == A
mmh, da fällt mir erstmal das Distributivgesetz ein:
(A ^ B ^ C) v A == ((A v A) ^ (B v A) ^ (C v A))
Dann Idempotenz:
(A ^ (B v A) ^ (C v A))
Und hier folgt durch Absorption:
A
Mist jetzt hab ich das Absorptionsgesetz mit selbigen bewiesen [img]
http://www.fb18.de/gfx/26.gif[/img]
Wie geht das denn jetzt?!
Ich würde sagen, dass
A && (B v A)
gilt, kann man einfach mit einer Wahrheitstafel zeigen.
Der Rest ergibt sich dann.
(A ^ (B v A) ^ (C v A))
Und hier folgt durch Absorption:
A
Mist jetzt hab ich das Absorptionsgesetz mit selbigen bewiesen [img]http://www.fb18.de/gfx/26.gif[/img]
Wie geht das denn jetzt?!
Nicht ganz - du hast bewiesen, dass die
Verallgemeinerung des Absorptionsgesetzes gilt. :-)
guiltyguy:
Der Rest ergibt sich dann.
Das mag sein, aber wenn ich diesen Satz in einem Paper über Logiken lesen würde, würde ich mich schon schwer wundern ;-)
Ich würde sagen, dass
A && (B v A)
gilt, kann man einfach mit einer Wahrheitstafel zeigen.
Der Rest ergibt sich dann.
? [img]http://www.fb18.de/gfx/16.gif[/img]
A && (B v A) == A
denn:
A B (B v A)(A && (B v A))
0 0 0 0
0 1 1 0
1 0 1 1
1 1 1 1
und dann:
(A && (B v A) && (C v A)) == (A && (C v A)) == A (analog der obigen Methode)
Das Absorptionsgesetz sagt, dass
(B ^ C) v A == A
Das kann man über Wahrheitstafeln herausfinden. Aber in F1 haben wir das ja gemacht, das können wir als bekannt voraussetzen.
Die Frage, ob
(A ^ B ^ C) v A == A
ist NICHT durch das Absorptionsgesetz gedeckt. Aber wie Inkarnat gezeigt hat, lässt sich diese Formel auf eine Formel zurückführen, in der wir das einfache Absorptionsgesetz verwenden können, um die Gültigkeit zu zeigen. D.h. die verallgemeinerte Aussage gilt ebenfalls.
Anarch:
Das Absorptionsgesetz sagt, dass
(B ^ C) v A == A
Meintest du vielleicht (A ^ B) v A == A ?
