Eine Frage zu den T-Invarianten. Es steht im Skript unmittelabar nach Def. von T-Invariant folgendes:

<< Der T-Invarianten-Vektor j in Abb. 4.3 besagt also, dass die Anfangsmarkierungen m0
dann wieder erreicht (reproduziert) wird, wenn drei Lese- und zwei Schreibaufträge ihren
Zyklus durchlaufen haben. >>

Wenn ich in m_0=(lok=n,0,…,0,r=0) gelange ich auch durch Schaltfolge d-e-f in m_0. Wie soll ich den T-inavrinten-vektor verstehen, irgendwie allgemeiner?
z.B. Egal welche Markierung man hat, kommt man durch schalten 'nach dem T-Invariant-Vektor' wider zu dieser Markierung.
Ich befürchte, ich verstehe das nicht 'im ganzen'.
Könnte jemand das mir besser erklären?

Wenn ich in m_0=(lok=n,0,…,0,r=0) gelange ich auch durch Schaltfolge d-e-f in m_0.

Da hast Du wohl noch 'ne Invariante gefunden.

z.B. Egal welche Markierung man hat, kommt man durch schalten 'nach dem T-Invariant-Vektor' wider zu dieser Markierung.

…sofern man in der Markierung so schalten kann. Aber ansonsten ist das genau das, was ein T-Invarianten-Vektor besagt.

Gilt die T-invar. (3,3,3,2,2,2) generell für alle Markierungen und die ich gefunden habe nur für die Markierung m_0? Und gibt es noch welche T-invar. außer (3,3,3,2,2,2)?

Für alle. T-Invarianten beschreiben ja die Änderung der Markierung und sind somit unabhängig von der Ausgangsmarkierung.

wenn wir schon bei invarianten sind, ich verstehe irgendwie nicht, wie man die S-Invarianten ausrechnet!
Nehmen wir das Beispiel Lese-Schreib-Problem.
Wie die Inzidenzmatrix zu stand kommt und wie man den T-Inv-Vektor berechnet ist klar, aber wie kommt man auf

lok+la+sa+l+s=n bzw. (1,1,1,1,1,0)

und

l+r+n*s=n bzw. (0,0,0,1,n,1)?????

i' * m = i' * m_0

i' * m = i' * m_0

das bedeutet also, für den unteren Fall:

1*m0(lok)+1*m0(la)+1*m0(sa)+1*m0(l)+1*m0(s)+0*m0(r) =

1*n + 1*0 + 1*0 + 1*0 + 1*0 + 0*n =

n+0+0+0+0+0= n

ist das so zu verstehen?

was auch immer du mit 'unteren Fall' meinst,
klingt jedesfalls ziemlich in die richtige Richtung

S-Invarianten gibt es 1-2 Arten:
1.
zum einen die die in einem Netz unabhängig von der Startmarkierung gelten

2.
und dann noch die die abhängig sind von der Startmarkierung
(weiss jetzt nich ob die auch S-Invarianten heißen, Definitionssache),
Beispiel: in einem Netz ohne Marken und in dem daraufhin keine Transition schalten kann sind alle Mengen von Stellen mit beliebigen Faktoren S-Invarianten, da überall 0 Marken liegen und das auch für immer so bleibt


per Matrix ausrechenbar sind die der ersten Sorte,
da kommt dann etwa raus das Stelle x + Stelle y + 2*Stelle z zusammen konstant viele Marken haben,
nun kann man sich noch fragen wieviele Marken das denn sind,
das ist wiederum von der Startmarkierung abhängig,
man kann also ausrechnen:



für eine bestimmte Startmarkierung m0 ist

m(x)+m(y)+2*m(z)=m0(x)+m0(y)+2*m0(z) = c e N

für alle erreichbaren Markierungen m

für eine bestimmte Startmarkierung m0 ist

m(x)+m(y)+2*m(z)=m0(x)+m0(y)+2*m0(z) = c e N

für alle erreichbaren Markierungen m

c e N - Ist das viel???

relativ zu y e N gar nicht mal..

Beispiel: in einem Netz ohne Marken und in dem daraufhin keine Transition schalten kann sind alle Mengen von Stellen mit beliebigen Faktoren S-Invarianten, da überall 0 Marken liegen und das auch für immer so bleibt

Laut Definition 4.5 ist ein Nullvektor aber keine Invariante. Oder was?

Laut Definition 4.5 ist ein Nullvektor aber keine Invariante.

Ja, ist er nicht.

Mal eine andere Frage:
Wieso enthalten S-Inv. ganze Zahlen und T-Inv. natürliche Zahlen? Ich kann nicht ganz erkennen, wieso nicht beide aus N sein sollen…

was auch immer du mit 'unteren Fall' meinst,
klingt jedesfalls ziemlich in die richtige Richtung

S-Invarianten gibt es 1-2 Arten:
1.
zum einen die die in einem Netz unabhängig von der Startmarkierung gelten

2.
und dann noch die die abhängig sind von der Startmarkierung
(weiss jetzt nich ob die auch S-Invarianten heißen, Definitionssache),
Beispiel: in einem Netz ohne Marken und in dem daraufhin keine Transition schalten kann sind alle Mengen von Stellen mit beliebigen Faktoren S-Invarianten, da überall 0 Marken liegen und das auch für immer so bleibt

Im Skript sind nur erstere als S-Invarianten bezeichnet. Dort heißen ja nur
die Vektoren (ungleich Null) S-Invarianten, die, angewandt auf die Inzidenzmatrix,
Null ergeben.

Wieso enthalten S-Inv. ganze Zahlen und T-Inv. natürliche Zahlen? Ich kann nicht ganz erkennen, wieso nicht beide aus N sein sollen…

Hehe, hier hätte ich noch eher die Frage erwartet, warum man sich bei den T-Invarianten
nur für die natürlichzahligen Lösungen interessiert [28]

Warum gibt man denn diesen Lösungen überhaupt einen Namen?

Bei S-Invarianten gibt der Satz von Lautenbach die Antwort. Der sagt ja: wenn man eine
S-Invariante hat, liefert diese eine Gleichung, die für alle erreichbaren Markierungen gültig
ist (etwa "Diese Stelle enthält immer genau 4 Marken mehr als jene."). Man gewinnt also
Information über das Verhalten des Netzes und kann damit evtl. erklären, warum das Netz
genau das tut, was man möchte. Wenn nun ein S-Invarianten-Vektor negative Einträge
enthält, stört das gar nicht, dann bekommt man eben eine Gleichung, die negative
Koeffizienten enthält. (Edit: Gut, nun könnte man fragen, warum man dann nicht auch die
rationalen, reellen oder gar komplexen Lösungen als S-Invarianten bezeichnet. Das liegt
daran, dass die sich alle als Linearkombinationen der ganzzahligen Lösungen schreiben
lassen und daher nicht mehr Information liefern).

Die Bedeutung von T-Invarianten kann man sich ähnlich einfach überlegen: Da diese
Vektoren, angewandt auf die Inzidenz(=Wirkungs)matrix, Null ergeben, ist also die
Wirkung einer Schaltfolge, die jede Transition in der durch den Vektor angegebenen
Anzahl enthält, ebenfalls Null. Mit anderen Worten: Danach hat man die gleiche
Markierung wie vorher. Und nun sieht man, warum da nur natürlichzahlige Vektoren
wichtig sind: Schaltfolgen, in denen eine Transition mit negativer Anzahl vorkommt, gibt
es ja nicht. (Lösungen mit negativen Einträgen können vielleicht aus anderen Gründen
interessant sein, aber zumindest kann man sie nicht direkt in wirkungslose Schaltfolgen
umrechnen).

Danke, Georg.