Hat schon irgendwer Loesungsansaetze fuer die neuen Uebungen [img]http://www.fb18.de/gfx/5.gif[/img]
Falls ja, tipps sind herzlichst willommen [img]http://www.fb18.de/gfx/23.gif[/img]

Hast du dir schon die Loesungen zu den Aufgaben des letzten Jahres angesehen (das wurde mit dem ersten Skript damals ausgeteilt)? Da ist eine sehr aehnliche Aufgabe dabei.

Cheers,
Frank

hm und wenn man diese lösungen damals nich mit dem script bekommen hat? gibts noch eine möglichkeit diese ähnliche aufgabe so zu bekommen ? :-)
wenn ja, oder irgendwer einen vorschlag hat wie man diese Übungen lösen kann würd ich mich über eine antwort freuen!

schöne grüße
Meike

Welche aufgabe meinst du denn azure? Und sowieso ich rall gaaaar nix! Was iss U was iss I, was sagt mir das zu dem wahrheitswert?? Und wieso tauchen da plötzlich ne 2 und ne 3 auf, ich dachte das kann nur 1 oder 0 sein?? Und überhaupt wer hat den diese scheisse erfunden[img]http://www.fb18.de/gfx/4.gif[/img][img]http://www.fb18.de/gfx/4.gif[/img][img]http://www.fb18.de/gfx/4.gif[/img] ;PpP

Allerdings recht schwierig dieses Mal :-(

Für alle die bei Aufgabe 2 wirklich nicht weiterkommen habe ich mal die Musterlösung aus dem letzten Jahr unter http://www.hannosch.de/studium/loesung10.pdf hochgeladen.

k, thx @ hannosch. Ichg den k mit der musterlösung kann ich was anfangen, allerdings rall ich trozdem nich was I(a)=2 und I(b)=3 heissen soll, heisst das das die konstanten nu war sind oder nich??

Yo!

Wir haben jetzt die erste Aufgabe soweit erledigt, war mit den Musterlösungen garnicht so schwer.
Nur beim zweiten Teil von Aufgabe 2 haben wir so unsere Problemlons. Ist die Folgerbarkeitsbeziehung denn überhaupt wahr oder nicht?!?!?

Ernie & Bert

Ok, mal gucken ob ich's halbwegs sinnvoll erklaeren kann :)
Also: Das U ist deine Domaen (die 'Sachen' mit denen du gleich was machen willst, z.B. Zahlen oder auch die CD-Regale aus der Vorlesung). Das I ist die Interpretation, d.h. mathematisch eine Abbildung. Nun werden mittels dieser Abbildung die konstanten erstmal auf Werte der Domaen abgebildet (man kann sich das als Auswertung oder so vorstellen: "Wo ein a steht darf man eine 2 hinschreiben"). Das I bildet dann auch die Praedikatsymbole, Funktionssymbole etc. ab. Wenn man z.B. I(P) bei 1a) betraechtet, dann bildet I das P genau dann auf wahr ab, wenn (m,n) in der Menge sind. Das ist der Fall, weil da ja steht P(x,f(x)). x ist ein Wert der Domaen (eine natuerliche Zahl) und f(x) ist durch die Funktionsvorschrift (also nach der Auswertung durch I) x+1. Dann ist P(x,x+1) aber auf jeden Fall in der angegebenen Menge, also wahr.
Was du mit 0 und 1 (vielleich besser: 'wahr' und 'falsch' um es von natuerlichen Zahlen o.ae. zu unterscheiden) kommt erst raus, wenn die Praedikatsymbole (durch I) interpretiert bzw. ausgewertet werden, also geguckt wird, ob das Argument von P in der Menge I(P) ist. (Bzw. spaeter wenn noch Quantoren hinzukommen).
Sooo….. ich glaub' das wars so ungefaehr. Also kurz gesagt wendest du von innen nach aussen das I auf alles an und ersetzt, bzw. guckst ob es wahr ist.

Zu 2) a) ist wahr (kann man ganz allgm. zeigen fuer zwei praedikatenlogische Formeln F und G [wird auch in diesen Musterloesungen gemacht]).
b) duerfte nicht wahr sein, denn "links" steht: "Fuer alle x gibt es ein y so dass P(x,y) wahr ist". Daraus folgt aber (zumindest nicht in jeder Domaen): "Es gibt ein y so dass *fuer alle* x gilt P(x,y)".
Nehmen wir naemlich an wir haben I(P) = { (1,3) (2,2) (3,1) }
Dann ist die linke Seite war, denn fuer x = 1 gibt es y = 3, fuer x = 2 gibt es y = 2, fuer x = 3 gibt es y = 1. Die rechte Seite ist aber nicht wahr, denn es gibt kein y so dass fuer alle x P(x,y) wahr ist, dazu muesste y naemlich fest sein, d.h. wenn y = 3 gilt muesste in I(P) (1,3) (2,3) und (3,3) enthalten sein. (Entsprechend wenn y=2 bzw. y=1.
Darueberhinaus muss eigentlich jedes Modell der linken Seite auch Modell der rechten Seite sein (eben bin ich ja nur davon ausgegangen das ueberhaupt irgendein Modell exisitert) und dies ist (mit obigem offensichtlich) nicht immer der Fall.
Allerdings kann es Domaenen geben, in denen das der Fall ist (mein ich zumindest :) ), denn wenn man z.B. hat U = {1} und I(P) = {1,1}. Dann ist alles was Modell der linken Seite ist auch Modell der rechten Seite. Aber der Fall ist bloed, weil man dann die Quantoren getrost lassen kann, es gibt naemlich fuer beide stets nur eine Moeglichkeit.

Cheers,
Frank

P.S. Bisschen lang geworden, 'tschuldigung [img]http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img]

Wenn man z.B. I(P) bei 1a) betraechtet, dann bildet I das P genau dann auf wahr ab, wenn (m,n) in der Menge sind. Das ist der Fall, weil da ja steht P(x,f(x)). x ist ein Wert der Domaen (eine natuerliche Zahl) und f(x) ist durch die Funktionsvorschrift (also nach der Auswertung durch I) x+1. Dann ist P(x,x+1) aber auf jeden Fall in der angegebenen Menge, also wahr.

alsooo, mir ist erstens nich klar wie du auf dieses x+1 kommst. zweitens gehst du ja eigentlich davon aus das x = 1 ist um den wahrheitswert herauszufinden, dann währe ja f(x) = 2, und damitnicht mehr wahr(1) oder falsch(0) sondern sonne dumme 2 die da meiner meinung nach ga nix zu suchen hat.
bitte bitte versucht mir zu helfen, ich peil ganix mehr [img]http://www.fb18.de/gfx/19.gif[/img]

das iss was ich bisher hab, nu komm ich net mehr weiter das problem halt mit den zahlen >1:

Übungsaufgabe 1:

a)
A1(F) = A1(Q(g(a,b)) /\ allex P(x,f(x))) = 1 gdw.
A1(Q(g(a,b))) = 1 und A1(allex P(x,f(x))) = 1

A1(allex P(x,f(x))) = 1 gdw.
es sei ein d el.von U1 = N ohne {0} gibt, so dass A1[x/d] (P(x,f(x))) = 1
A1[x/d] (P(x,f(x))) = PA1(d,fA1(d)) = 1 gdw. (d,d²) el.von {(m,n)|m,n Î U1 und m<n}
Da für d = 1 gilt d² = d folgt: men
Also A1(allex P(x,f(x))) = 0

Der Wahrheitswert von Q(g(a,b)) kann nun ignoriert werden da:
A1(F) = A1(Q(g(a,b)) /\ allex P(x,f(x))) = 1 gdw.
A1(Q(g(a,b))) = 1 und A1(allex P(x,f(x))) = 1

Daher A1(F) = 0

b)
A2(G) = (allex esgibty P(x,y) /\ allez(P(z,z) -> P(z,f(z))) /\ P(a,a)) = 1 gdw.
für alle d,e,f el.von U1 = {1,2}gilt A2[x/d, y/e, z/f] (P(x,y) /\ (P(z,z) -> P(z,f(z))) /\ P(a,a)) = 1

A2[x/d, y/e, z/f] (P(x,y) /\ (P(z,z) -> P(z,f(z))) /\ P(a,a)) = 0 gdw.
A2[x/d, y/e, z/f] (P(x,y) /\ (P(z,z)) = 1 und A2[z/f] (P(z,f(z))) /\ P(a,a)) = 0

A2[x/d, y/e, z/f] (P(x,y) /\ (P(z,z)) = 1 gdw.
A2[x/d, y/e] (P(x,y)) = 1 und A2[z/f] (P(z,z)) = 1
A2[x/d, y/e] (P(x,y)) = A2[x/d, y/e] PA2(d,e) = 1 gdw. (d,e) el.von {(1,2),(2,1)}

ok das x+1 hab ich jetzt raus woher das kommt ;)
iss schon nützlich ab und zu die augen zu öffnen
allerdings bleibt die frage mit der 2 immer noch offen

A2[x/d, y/e] (P(x,y)) = A2[x/d, y/e] PA2(d,e) = 1 gdw. (d,e) el.von {(1,2),(2,1)}

was heisst das denn für den wahrheitswerverlauf??

puh wenn ich mal kein internet hab, dann is hier was los ;)

also den ganzen kram les ich mal nicht durch, nur bezogen auf die 2:

die menge der natürlichen zahlen besteht aus 0 (manchmal), 1, und natürlich noch 2, 3, ..

das ist ne menge, fertig,
f(x) íst eine funktion, kann ja ruhig irgendeine menge (z.b N = die natürlichen zahlen) als definitionsbereich haben und eine andere als wertebereich (z.b. auch N), da ist nix schlimmes dran

f: N (oder auch N u {0}) -> N mit f(x)=x+1 (steht auf dem zettel)

für 1 ist f(1)=2, das is auch ok

mit wahrheitswerten hat das ganze nix zu tun, wahr=1 und falsch=0 ist ne wage konvention würd ich mal behaupten,

die wahrheitswertauswertung klappt in den angegebenen formeln (wie in allen korrekten formeln), weil nirgendwo eine ZAHL als wahrheitwert betrachtet wird, da steht doch nirgenwo, das 2 wahr oder falsch bedeuten soll, oder wo meinst du das zu sehen (hab nicht alles durchgelesen),

die formeln bestehen aus quantoren (da wirds kein problem geben), junkttoren (und, oder, usw, das hat ja auch nix mit zahlen zu tun, kein problem) und prädikaten (P(..), Q(..)) und sonst nix,

prädikate haben als spezielle funktionen durchaus auch einen beliebigen definitionsbereich (wie z.b. N), aber garantiert nur einen wertbereich von {wahr,falsch} (oder zur not auch {1,0}),
auf diesem wege können also auch keine zahlen in die formel kommen,

wenn man sonst noch zahlen dazuschreibt (etwa Vx P(x) und 2 oder f(x)), dann hat man da durchaus ein problem, allerdings ist das auch keine korrekte formel mehr ;),

in der aufgabe sind aber nur korrekte formeln
F= Q(g(a,b)) und Vx P(x,f(x))

hier kann f(x) ruhig 2 oder sonstwas sein, denn P ist sicher auf N x N definiert und wird entweder wahr oder falsch liefern

edit
und der privatlink:
http://www.informatik.uni-hamburg.de/WSV/f1/2002/Aufgaben/Blatt12.pdf

allez(P(z,z) -> …
z ist zwar ne variable, aber z = z !!! ist das nich falsch, wennI2(P) nur ((1,2),(2,1)) sien kann?

allez(P(z,z) -> …
z ist zwar ne variable, aber z = z !!! ist das nich falsch, wennI2(P) nur ((1,2),(2,1)) sien kann?

wenn P nur für (1,2) und (2,1) wahr wird, dann wird das prädikat für alle (z,z) falsch ergeben, das ist richtig

a)
A1(F) = A1(Q(g(a,b)) /\ allex P(x,f(x))) = 1 gdw.
A1(Q(g(a,b))) = 1 und A1(allex P(x,f(x))) = 1

A1(allex P(x,f(x))) = 1 gdw.
es sei ein d el.von U1 = N ohne {0} gibt, so dass A1[x/d] (P(x,f(x))) = 1

hmm ja wie man das formuliert, jedenfalls soll rauskommen, das für beliebiges d der wert 1 rauskommt,
die menge ist übrigens N VEREINIGT {0}

A1[x/d] (P(x,f(x))) = PA1(d,fA1(d)) = 1 gdw. (d,d²) el.von {(m,n)|m,n Î U1 und m<n}

nicht d², wieso denn d²?, d+1

Da für d = 1 gilt d² = d folgt: men
Also A1(allex P(x,f(x))) = 0

es gilt für alle d dass d < d+1 ist (wenn denn f überhaupt für d=0 definiert ist.., das ist aber wohl haarspalterei),
also A1=1

Der Wahrheitswert von Q(g(a,b)) kann nun ignoriert werden da:
A1(F) = A1(Q(g(a,b)) /\ allex P(x,f(x))) = 1 gdw.
A1(Q(g(a,b))) = 1 und A1(allex P(x,f(x))) = 1

Daher A1(F) = 0

kann nicht ignoriert werden, ist aber einfacher als der 2. teil und auch 1

b)
A2(G) = (allex esgibty P(x,y) /\ allez(P(z,z) -> P(z,f(z))) /\ P(a,a)) = 1 gdw.
für alle d,e,f el.von U1 = {1,2}gilt A2[x/d, y/e, z/f] (P(x,y) /\ (P(z,z) -> P(z,f(z))) /\ P(a,a)) = 1

A2[x/d, y/e, z/f] (P(x,y) /\ (P(z,z) -> P(z,f(z))) /\ P(a,a)) = 0 gdw.
A2[x/d, y/e, z/f] (P(x,y) /\ (P(z,z)) = 1 und A2[z/f] (P(z,f(z))) /\ P(a,a)) = 0

da sind ja wohl ein paar klammer verruscht, eher

A2[x/d, y/e, z/f] (P(x,y) /\ (P(z,z) -> P(z,f(z))) /\ P(a,a)) = 0 gdw.
A2[x/d, y/e] (P(x,y) = 0 oder
A2[z/f] (P(z,z) -> P(z,f(z))) = 0 oder A2 P(a,a) = 0

(wobei hier bei der ersetzung nicht zwischen 'für alle' und 'es existiert' unterschieden wird, einfach jeweils x/d bzw. y/e, ob das mal so soll..)

A2[x/d, y/e, z/f] (P(x,y) /\ (P(z,z)) = 1 gdw.
A2[x/d, y/e] (P(x,y)) = 1 und A2[z/f] (P(z,z)) = 1
A2[x/d, y/e] (P(x,y)) = A2[x/d, y/e] PA2(d,e) = 1 gdw. (d,e) el.von {(1,2),(2,1)}

der rest ist natürlich hinfällig, wobei allerdings im letzten teil klar ist, das für jedes d (1 oder 2) ein e existiert (eben 1 oder 2), so dass (d,e) el. von {(1,2),(2,1)}