Ich hab eine allgemeine Frage zum Aufgabenzettel 11, Aufgabe 1.2:

Wie benenne ich Variablen so um, dass jede Variable nur in einem Skopus vorkommt, wenn es einen Skopus gibt, der andere Skopi umfasst? Die Variablen sind dann doch automatisch auch in dem umschließenden Skopus.

Hmm…bin mir nicht ganz sicher, was du meinst. Hier ein Beispiel:

Q1 x ( R(x) v Q2 x (P(x)) v S(x))
dabei seinen Q1, Q2 Quantoren, v = ODER

Der Skopus des Q1 umfasst die ganze Formel, R(x) bezieht sich auf das von Q1 ins Leben gerufene x.
Durch Q2 entsteht ein neues x, das mit dem vorherigen nichts zu tun hat! Das äußere x wird insofern "überdeckt" und erhält seine Gültigkeit erst nach dem Ende der Gültigkeit des 2. x wieder. Also ist S(x) wieder auf das erste bezogen, denn der Q2 ist dort schon zu Ende. Zur Umbenennung: Alle gleichen Variablen sollen gleich heißen, verschiedene nicht. Also muss in diesem Falle das 2. x umbenannt werden, z.B. in y, es ergäbe sich also:

Q1 x ( R(x) v Q2 y (P(y)) v S(x))

Ich hoffe, das war, was du wissen wolltest.

Dann kann ich ja mit der naechsten Frage koemmen:

Dienen die [eckigen KLammern] nur der Uebersichtlichkeit
oder haben die sonst noch irgendeine gefaehrliche
Funktion?

Hat sich erledigt… steht ja auf dem Zettel…
oha.

Hmm…bin mir nicht ganz sicher, was du meinst. Hier ein Beispiel:

Q1 x ( R(x) v Q2 x (P(x)) v S(x))
dabei seinen Q1, Q2 Quantoren, v = ODER

Der Skopus des Q1 umfasst die ganze Formel, R(x) bezieht sich auf das von Q1 ins Leben gerufene x.
Durch Q2 entsteht ein neues x, das mit dem vorherigen nichts zu tun hat! Das äußere x wird insofern "überdeckt" und erhält seine Gültigkeit erst nach dem Ende der Gültigkeit des 2. x wieder. Also ist S(x) wieder auf das erste bezogen, denn der Q2 ist dort schon zu Ende. Zur Umbenennung: Alle gleichen Variablen sollen gleich heißen, verschiedene nicht. Also muss in diesem Falle das 2. x umbenannt werden, z.B. in y, es ergäbe sich also:

Q1 x ( R(x) v Q2 y (P(y)) v S(x))

Ich hoffe, das war, was du wissen wolltest.

Jo danke. War genau das was ich wissen wollte.

Wie verhält sich das, wenn eine Variable nun nicht gebunden vorkommt? (Ich hoffe, ich schreibe hier nicht totalen Blödsinn)

Q1 x R(x) v Q2 y (P(y) v S(x))

Q1 x R(x) v Q2 y (P(y) v S(z))

In S(x) ist x nicht gebunden, der Skopus von Q1 geht ja nicht bis dahin.
Ist meine 2.Zeile eine korrekte Umbennenung? Oder muss ich gar nicht unbenennen, weil in der Aufgabe steht, ein Variablen-Name soll nicht in verschiedenen Skopi auftreten. Wenn die Variable nicht gebunden ist, ist sie ja auch nicht in einem Skopus, oder?

Es ist die Frage, ob man den globalen Gültigkeitsbereich nicht auch als Skopus auffassen kann. Dann wäre durch einen Quantor, welcher eine Variable mit gleichen Namen erstellt, die Aufgabenstellung verletzt.
Allgemein kann ich dazu nur sagen: Diese ganze Aufgabe ist total schwachsinnig! NIEMAND kommt in der Realität (außer eben in diesen Übungsaufgaben) auf die Idee, 2 von einander verschiedene Variablen gleich zu benennen, sodass das Problem gar nicht auftritt.
Wie dem auch sei…deine Umformung erscheint mir richtig. Und nochwas: Dumme Fragen gibt es nur wenige. Eher sind diejenigen dumm, die nicht fragen und daher die ganze Zeit etwas nicht verstehen! Besser du stellst hier eine Frage zuviel, als dass du Punktabzüge für eine Lösung bekommst.

Super,
die gleiche Frage wie Spacelord habe ich mir auch gestellt.
Na ja, war doch einfacher als ich dachte. Vielen Dank für den Tip.

Hi Ihr,

irgendwie stehe ich hier noch auf dem Schlauch….
wie muesste die Umbennung aussehen, wenn man

Ax(Ey P(x,y) v Ay (y,x)) hat ?

Dann waere es doch

Ax1 (Ey1 P(x2,y2) v (Ay3 (y4,x3))

oder ?

Gruss
Galen

Nein…ich glaube nicht: Gegeben sei deine Formel

Ax(Ey P(x,y) v Ay (y,x))

1. Diese Aussage macht noch keinen Sinn, ich formuliere mal um:
Ax(Ey P(x,y) v Ay R(y,x))
denn sonst hast du zwar Parameter aber kein Prädikat, für die die Parameter gültig sind.

2. Dann bezieht sich das x in P(x,y) auf das x, welches du in deinem Allquantor zu Beginn definfiert hast, da dessen Skopus noch nicht zu Ende ist. Daher müssen sie auch nach der Umbenennung gleich heißen. Wenn du willst kannst du natürlich auch x1, x2, x3 benutzen, aber diejenigen Variablen, die gleich sind, müssen trotzdem gleich heißen.

Ax (Ey P(x,y) v (Az (z,x))

Der Gültigkeitsbereich (Skopus) vom Allquantor zu Beginn der Formel reicht bis zum Ende der gesamten Formel. Überall, wo in der Originalformel ein x auftaucht muss es also auch so heißen, wenn es nicht durch einen weiteren Quantor außer Kraft gesetzt wird.

Ich glaube es wäre nicht einmal falsch, würde man deine Formel umbenennen in:

Ax (Ey P(x,y) v (Ay (y,x))
denn der Skopus des Existenzquantors ist dort schon zu Ende, allerdings verliert die Formel dadurch an Übersichtlichkeit, weshalb man das nicht macht.
Etwas schwieriger ist es z.B. bei folgender Formel:

Ax [P(x) v Ex [R(x) v S(x)]]
Die Klammern sind nur für die Übersicht eckig.
Hier ist der Skopus des Allquantors noch nicht zu Ende und es wird eine Variable mit gleichem Namen ins Leben gerufen. Daher wird das x des Allquantors innerhalb des Skopus des Existenzquantors überdeckt. Ein solches MUSS umbenannt werden, wenn man ordentlich arbeiten will:

Ax [P(x) v Ey [R(y) v S(y)]]

Ich hoffe, ich konnte dir damit ein wenig helfen

Gut erklärt, Mr. Beeblebrox.

Mal ne ganz andere Frage: Meint ihr in Aufgabe 2 in Formel F' soll das da drin wirklich ein f(x,z) sein, obwohl kein x gebunden ist? oder soll es vielleicht doch x1 heissen??

Hmmm…who knows? Es ist ja nicht verboten, dass eine freie, ungebundene Variable in einer Formel auftaucht. Daher könnte die Aufgabe auch so gemeint sein, wie sie auf dem Zettel steht. Wenn du die Aufgabe eigenmächtig veränderst, solltest du das ausdrücklich auf deiner Lösung erwähnen. Ich glaube, ich werde nix an der Aufgabenstellung ändern…

Na ich glaube ich verlass mich lieber auf das, was da steht. Oder ist es verboten, dass eine ungebundene Variable in der Formel vorkommt? Hmmm.. es gibt kein Beispiel mit einer ungebundenen Variablen, weder im Skript noch im Schöning. Da hätte man am liebsten schon in der Übung gefragt, allerdings gab es die Aufgabenzettel ja erst dort, so dass man sie noch gar nicht richtig anschauen konnte, sowas fällt ja nicht auf den ersten Blick auf.