Für M2/M3 gucke ich mir die Gedächtnisprotokolle so an und finde die Aufgabenstellung:
y`=x²y mit y(1)=1 als Anfangsbedingung, als
Ergebnis steht im Protokoll (genau so): (y = exp(1/3*x²-1/3))
Wie kommt man darauf, hab wirklich lange darüber nachgedacht…
Nach Ansatz y`=f(x)g(y) oder y`=a(x)y+s(x)
so oder so ich weiss nicht wie die -1/3 dahinter zustande kommt
bitte hilfe (hab da irgendwas elementares wohl durcheinander gebracht [img]
http://www.fb18.de/gfx/26.gif[/img]
Ok.
1. Typ feststellen. Das hast du schon geschafft: y`=a(x)y+s(x)
aber um genau zu sein: Da s(x)= 0 gilt ist auch y`=f(x)g(y) richtig. Beim oberen ist a(x)=x^2, beim unteren ist g(y)= y(trivial, nicht?). Ich glaube aber, es soll der erste Typ sein, der ist nämlich einfacher und kann eine Störfunktion behandeln.
Nun zum Weg(nachzuvollziehen im (alten) M2-Skript Seite 110):
1. homogene Lösung(s(x) = 0 gesetzt):
c*e^(A(x)), also muss a(x) aufgeleitet werden, bei uns kommt dann
c*e^((1/3)x^3) raus.
2. spezielle Lösung:
ist bei unserem Beispiel = 0, da s(x) = 0 ist.
3. allgemeine Lösung = homogene Lösung + spezielle Lösung. Wieder trivial:
c*e^((1/3)x^3) + 0 = c*e^((1/3)x^3)
4. Anfangswertproblem lösen. Dies kann man an Beispiel 2 sehen:
wir haben ja die allgemeine Lösung Y = c*e^((1/3)x^3) und die Anfangsbedingung y(1)=1, also setzen wir es ein
y(1)[für x 1 einsetzen] = 1[für y 1 einsetzen]
1 = c*e^((1/3)1^3) = c*e^(1/3) [nach c umstellen]
1/e^(1/3) = c => c = e^(-1/3) [jetzt das c in die allgemeine Lösung eintragen]
e^(-1/3)*e^((1/3)x^3) = e^(-1/3 + (1/3)x^3) = e^((1/3)x^3 -1/3)
fertig.
Tomek
[edit: Formulierungen, FEHLER ausgebessert]
[edit 2: noch ein Fehler ausgebessert]
danke für die schnelle Hilfe(, also waren es u.a. auch einige Potenzgesetze für die Umstellung, die zur dieser Verwirrung geführt haben…)
wobei, jetzt fällt mir auf, ist dir nicht da ein kleiner Fehler unterlaufen:
e^(-1/3)*e^((1/3)x^3) = e^(-1/3 * (1/3)x^3) = e^((1/3)x^3 * (-1/3))
[edit: Formulierungen]
das sieht jetzt so aus a^n * a^k = a^(n*k) ?
kann das sein? - war es nicht eher so a^n * a^k = a^(n + k) !
und deswegen kommt
y = exp(1/3*x²-1/3) raus, wie schon oben aus dem GP kopiert…
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Vollständigerhalber noch mal den 2. Weg nehmen: DGL mit getrennten Veränderlichen:
y' = f(x) * g(y), also
y' = x^2 * y [nur linke Seite nach x ableiten]
dy/dx = x^2 * y [umstellen: alle x und y auf jeweils eine Seite]
dy = x^2 * y * dx
dy/y = x^2 dx
1/y dy = x^2 dx [integrieren(§)]
§(1/y dy) = §(x^2 dx)
ln(y) + c1= (1/3)x^3 + c2 [es entstehen 2 c, aber wir können eines draus machen, wenn wir c = c2-c1 definieren]
ln(y)= (1/3)x^3 + c [wir wollen y, also ln^-1 machen]
y = e^((1/3)x^3 + c) [Anfangsbedingungen einbringen wie vorher]
1 = e^(1/3 + c)
Jetzt kommt was "tricky-ges": womit muss ich e hochnehmen um 1 zu erhalten? 0! (Das braucht immer wieder seine Zeit, bevor einem das wieder einfällt!) Also:
0 = 1/3 + c [umstellen nach c]
-1/3 = c [einsetzen]
y = e^((1/3)x^3 + (-1/3)) = y = e^((1/3)x^3 - 1/3)
So fertig. Aber daranb denken, dies funktioniert nur, wenn s(x) = 0 ist bzw. nich vorhanden. Ich schlage immer den anderen Weg vor. Will noch jemand ein Beispiel für s(x) != 0?
Tomek
wobei, jetzt fällt mir auf, ist dir nicht da ein kleiner Fehler unterlaufen:
e^(-1/3)*e^((1/3)x^3) = e^(-1/3 * (1/3)x^3) = e^((1/3)x^3 * (-1/3))
[edit: Formulierungen]
das sieht jetzt so aus a^n * a^k = a^(n*k) ?
kann das sein? - war es nicht eher so a^n * a^k = a^(n + k) !
und deswegen kommt
y = exp(1/3*x²-1/3) raus, wie schon oben aus dem GP kopiert…
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Haste Recht! Es gilt ja
b^x * b^y = b^(x+y)
Mein Fehler, hab mich beim ablesen von dem kleinen - irritieren lassen und dachte, es wäre nur ein Vorzeichen denn eine Operation.
Tomek
Es gab noch einen Fehler:
y(1) = 1
y(1)[für y 1 einsetzen] = 1[für x 1 einsetzen]
Es muss
y(1) = 1
y(1)[für x 1 einsetzen] = 1[für y 1 einsetzen]
heißen.
Tomek
