wie bestimmt man die Basis von Bild f?

Hm, also im allgemeinen gibt es da verschiedene
Möglichkeiten.

In jedem Fall spannen die Spalten der Matrix zu f
ja den Bildraum auf. Das Problem ist nur, dass diese
Spalten nicht linear unabhängig sein müssen.

Eine Möglichkeit wäre, das Gauß-Verfahren ein wenig
anzupassen, indem man statt Zeilenumformungen
Spaltenumformungen macht (während Zeilenumformungen
den Kern nicht verändern, lassen Spaltenumfornungen
den Bildraum fest). Man muss dazu die Spalten so
umformen, dass die verbleibenden Spalten am Ende
linear unabhängig sind (etwa, weil sie in bestimmten
Zeilen die Standardvektoren sind) und alle anderen
Null sind.

Vielleicht sieht man auch ohne Rechenverfahren, dass
eine bestimmte Teilmenge der Spalten linear unabhängig
ist, kommt auf die Matrix an.