Funktionen als Matrizendarstellung und umgekehrt
Hab im Hinterkopf, dass es ziemlich billig war, aber weder Ergebnisse noch den Weg und im Jähnich hab ich dazu auch nichts wirklich hilfreiches gefunden. Kann vielleicht jmd an einer der Präsenzaufgaben kurz den Weg zeigen? Oder, falls im Jähnich das Ganze doch erläutert sein sollte, nen kleinen Tipp bezüglich der Seitenzahl geben?

Die Spalten der MAtrix sind die Bilder der Basisvektoren. Sprich am besten einfach die kanoniscdhe Basis nehmen und die Vektoren einsetzen und die Bilder als Spaltenvektoren in die Matrix schreiben.

Das Ganze ist aber nur machbar für lineare Abbildunden…

hehe yo danke, aber das war mir schon einigermassen bewusst ;) hab mich da dann auch schlecht ausgedrückt im ersten Post.
Ich würds nur gern annem Beispiel sehen wenns möglich ist, bin einer von den napps, die es angewandt eher blicken als die reine formale Art und Weise, sry TT

OK, dann mache ich mal ein Beispiel vor.
Fasst man die komplexen Zahlen als reellen
Vektorraum auf, dann sieht man leicht an
den Rechenregeln in Körpern, dass das
Multiplizieren mit einer komplexen Zahl
eine lineare Abbildung ist. Zu jeder
komplexen Zahl [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?z%3Da%2Bbi%5Cin%5Cmathbb%7BC%7D%2C%20a%2Cb%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D[/img]
bekommt man also eine lineare Abbildung
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?L_z%3A%20x%5Cmapsto%20zx[/img]. Nimmt man jetzt
1,i als Basis, dann muss man die Bilder
der Basisvektoren in die Spalten der Matrix
schreiben. Was ist das Bild von 1? Richtig: z.
Also schreibt man z in die erste Spalte,
d.h. a oben links und b unten links. Was ist
das Bild von i? Richtig: -b+ia, also schreibt
man oben rechts -b und unten rechts a.
Insgesamt:

[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%0D%0Aa%20%26%20-b%20%5C%5C%0D%0Ab%20%26%20a%0D%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright)[/img]

Und was ist davon die Determinante? Richtig:
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?a%5E2%2Bb%5E2%3D%7Cz%7C%5E2[/img].

Mir fiel gerade noch ein viel schöneres Beispiel ein:
Betrachtet man den Vektorraum V der Polynome vom Grad
kleiner oder gleich n, so ist das Einsetzen eines
linearen Polynoms aX+b eine lineare Abbildung von V
nach V. Eine Basis des Vektorraums ist [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?1%2C%20X%2C%20X%5E2%2C...%2CX%5En[/img].
Um die Matrix dieser Abbildung zu berechnen, bestimmt
man die Bilder der Basisvektoren und stellt das Ergebnis
wieder bzgl. der gewählten Basis dar. Was ist also
das Bild des Basisvektors [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?X%5Em[/img]?

Ganz einfach. Es gilt:
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?(aX%2Bb)%5Em%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5Em%20%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0Am%20%5C%5C%0Ak%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%20a%5Ekb%5E%7Bm-k%7DX%5Ek[/img],
also gilt für die darstellende Matrix A=(c_ij)
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?c_%7Bij%7D%3D%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20j-1%20%5C%5C%20i-1%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)a%5E%7Bi-1%7Db%5E%7Bj-i%7D%2C[/img]
denn c_ij ist der Koeffizient neben [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?X%5E%7Bi-1%7D[/img]
und zwar in dem Polynom, das ensteht, wenn man aX+b
in das Basiselement [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?X%5E%7Bj-1%7D[/img] einsetzt
(das -1 kommt daher, dass man in Matrizen mit 1 zu
zählen anfängt, bei den X-Potenzen aber bei 0, das
Problem sollte den meisten Informatikern vertraut
sein…).

Wer mir jetzt sagen kann, warum diese Matrix für
n>0 und [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?a%5Cne%200[/img] invertierbar ist,
darf sie behalten (nicht mit Determinanten
rumrechnen! Es geht wirklich leicht, wenn man
eine kleine Idee hat [img]http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img])

Georg, schau Dir mal 'ne Andreae-M3-Vorlesung an. Das alles ist schon viel zu abgehoben, mehr als den [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cmathbb%7BR%7D%5En[/img] gibt's da praktisch nicht. [img]http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]

Wer mir jetzt sagen kann, warum diese Matrix für
n>0 und [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?a%5Cne%200[/img] invertierbar ist,
darf sie behalten (nicht mit Determinanten
rumrechnen! Es geht wirklich leicht, wenn man
eine kleine Idee hat [img]http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img])

[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?b%20%5Cne%200[/img] waere auch noch praktisch, oder? <edit>Nein, braucht man nicht…</edit>
Jrvy'f 'ar borer (hagrer?) Qervrpxfzngevk vfg, evpugvt? ([url=http://www.fb18.de//cgi-bin/rot13.cgi?Jrvy'f%20'ar%20borer%20%28hagrer%3F%29%20Qervrpxfzngevk%20vfg%2C%20evpugvt%3F]deROT13)

pRoMoE: Probier's einfach mal aus! Mehr als

Die Spalten der MAtrix sind die Bilder der Basisvektoren.

gibt's da eigentlich nicht zu zu sagen.

Georg, schau Dir mal 'ne Andreae-M3-Vorlesung an. Das alles ist schon viel zu abgehoben, mehr als den [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cmathbb%7BR%7D%5En[/img] gibt's da praktisch nicht. [img]http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]

Ja, aber an solchen Beispielen sieht man mal, dass
sich die Theorie aus der Vorlesung auch in ganz
anderen Situationen anwenden lässt (hier sieht man
z.B., dass man, wenn man die Matrizenmultiplikation
einmal implementiert hat, man sich um Polynome kaum
noch kümmern muss).

[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?b%20%5Cne%200[/img] waere auch noch praktisch, oder?
Jrvy'f 'ar borer (hagrer?) Qervrpxfzngevk vfg, evpugvt? ([url=http://www.fb18.de//cgi-bin/rot13.cgi?Jrvy'f%20'ar%20borer%20%28hagrer%3F%29%20Qervrpxfzngevk%20vfg%2C%20evpugvt%3F]deROT13)

Nein, für b=0 geht es auch (ich nehme übrigens
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?0%5E0%3D1[/img] an). Ich glaube nicht, dass
das immer eine Dreiecksmatrix ist.

Was ist denn n-ueber-k fuer k > n?

Was ist denn n-ueber-k fuer k > n?

OK, du hast recht, es sind Dreiecksmatrizen [img]http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img]
So kann man's also auch begründen. Ich dachte daran,
die entsprechende Matrix für das Polynom
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?a%5E%7B-1%7DX-a%5E%7B-1%7Db[/img] zu betrachten.
Die ist nämlich offensichtlich die Inverse zu
der obigen. (Denn wenn man dieses Polynom in
aX+b einsetzt, bekommt man wieder X).