Da nächste woche meine m23 prüfung anstellt, habe ich mich in der letzten zeit ordentlich mit dem stoff beschäftigt. Leider fehlt mir nach wie vor das verständnis für diese taylorpolynome… wenn mir die jemand mal kurz - sofern dies möglich ist - erklären kann, wäre ich um einiges schlauer…

Vor allem frage ich mich, was deg(T)<= n sein soll…

vielen dank schon einmal im Voraus.

(edit: Topictitel – fal)

Taylorpolynome sind eine Möglichkeit zum Approximieren
von Funktionen. Die Idee dahinter ist, ein Polynom zu
konstruieren, das in (mindestens) einem Punkt a mit einer
Funktion f übereinstimmt und dessen erste n Ableitungen im
Punkt a mit denen von f übereinstimmen (Ableitungen sind ja
für sich auch schon in gewisser Hinsicht Näherungen einer
Funktion).

Und man sieht leicht, dass es nur eine Möglichkeit gibt, ein
solches Polynom der Form
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?T(x)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20a_k(x-a)%5Ek[/img]
herzustellen. Dann ist nämlich [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?T%5E%7B(k)%7D(a)%3Dk!%5Ccdot%20a_k[/img].
Und wenn T die obige Forderung, nämlich [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?T%5E%7B(k)%7D(a)%3Df%5E%7B(k)%7D(a)[/img],
erfüllen soll, muss [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?k!%5Ccdot%20a_k%3Df%5E%7B(k)%7D(a)[/img], d.h.
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?a_k%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7B(k)%7D(a)%7D%7Bk!%7D[/img], gelten. Für die Koeffizienten gibt es also nur diese
Möglichkeit. Damit ist dann [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?T(x)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20%5Cfrac%7Bf%5E%7B(k)%7D(a)%7D%7Bk!%7D(x-a)%5Ek[/img].

Was man dazu wissen sollte, ist, dass T(x) mit n gegen unendlich
weder konvergieren muss noch im Konvergenzfall gegen die Funktion
konvergieren muss.

deg(T) steht üblicherweise für den Grad eines Polynoms T.

vielen dank für die antwort. hat mir weitergeholfen…

ich hätte da aber noch eine Frage, die diesmal allerdings aus dem M3 stoffgebiet ist. Was ist in der Menge F(IxJ, K) bzw. in allen anderen Mengen der Form F(X,Y). Sind in dieser Menge alle Funktionen, die den Wertebereich X haben und in f(x)=y, y Element von Y, abbilden? Steig da irgendwie nicht so ganz durch, manchmal erscheint mit alles plausibel und dann wieder doch nicht….

bin über jede art von hilfe dankbar….