Sorry, mir fiel keine bessere Überschrift ein :-)

Habe im Prüfungsprotokoll gelesen, dass in der M-Prüfung auch mal nach dem Zusammenhang zwischen der Determinante und linearer Abhängigkeit gefragt wird.

Dazu reicht wohl zu sagen, dass wenn det A = 0, dass A dann linear unabhängig ist und nicht eindeutig lösbar und nicht invertierbar.
Wenn det A ungleich 0, dann gelten die Gegenteile.

Aber ich habe noch im Protokoll gelesen, dass an dieser Stelle auch nach den komplexen Zahlen gefragt wird und ihrer Bedeutung in diesem Zusammenhang.

Dazu fällt mir leider nichts ein. Kann mir dazu vielleicht einer von Euch was schreiben?

Dazu reicht wohl zu sagen, dass wenn det A = 0, dass A dann linear unabhängig ist und nicht eindeutig lösbar und nicht invertierbar.
Wenn det A ungleich 0, dann gelten die Gegenteile.

Wenn det A=0, dann sind die Zeilen der Matrix A linear abhängig
und das lineare Gleichungssystem "Av=0" ist nicht eindeutig lösbar
und A ist nicht invertierbar. Und bei wenn det A nicht Null ist,
gelten die Gegenteile, ja.

Aber ich habe noch im Protokoll gelesen, dass an dieser Stelle auch nach den komplexen Zahlen gefragt wird und ihrer Bedeutung in diesem Zusammenhang.

Also ich weiss nicht, was in M3 speziell zu diesem Thema
drankommt, aber mir fiele dazu höchstens ein, dass die
komplexen Zahlen halt einen Körper bilden und man eben
die Theorie der Matrizen auf solche mit komplexen Einträgen
anwenden kann. Was mir beim freien Assoziieren zwischen
Determinante und komplexen Zahlen noch auffällt ist, dass
die Determinante von hermiteschen Matrizen reell ist (wobei
Determinanten von Matrizen mit komplexen Einträgen im
allgemeinen komplex sind!), denn dann gilt
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cdet%20A%3D%5Cdet(%5Coverline%7BA%7D%5ET)%3D%5Cdet(%5Coverline%7BA%7D)%3D%5Coverline%7B%5Cdet%20A%7D[/img].

Achja, jetzt wo ich die Konjugation erwähne, fällt mir noch
was ein. Wenn man [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cmathbb%7BC%7D[/img] als zweidimensionalen [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cmathbb%7BR%7D[/img]-Vektorraum
auffasst, ist ja für jedes [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?z%5Cin%5Cmathbb%7BC%7D[/img] die Abbildung [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?x%5Cmapsto%20zx[/img] linear
(das sollte jeder als Übung hinkriegen), besitzt also eine Matrix Z
bzgl. der Basis 1,i. Und die Determinante von Z ist dann
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?z%5Ccdot%5Coverline%7Bz%7D%3D%7Cz%7C%5E2[/img] (zur Übung nachrechnen!).
Das könnte vielleicht noch als interessanter Zusammenhang
herhalten, ich weiss aber nicht, ob der Prüfer darauf hinauswollte.

danke für die antwort.
und ich sehe gerade, dass ich mich verschrieben habe. habe geschrieben wenn det A = 0, dann lin. unabh. muss natürlich heißen, wenn det A = 0 , dann lin. abh.