Hi!
Hat irgendjemand die Lösung für Aufgabe P-22 und könnte sie ins Forum stellen? Das wäre sehr nett. Habe nämlich gemerkt, dass ich sie nicht habe und die Aufgabe ist ja wichtig für den Test.

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Fred, das war keine Hausaufgaben-Frage. Das ist vielmehr die Frage nach einer Aufgabe gewesen die in den Übungen gerechnet wurde. Und giveme5 hat höflich danach gefragt ob evtl. jemand die Aufzeichnungen noch hat.

Habe die Aufzeichnungen auch nicht mehr. Hier was ich mir überlegt habe:
a) A = { {1,2,3,4,5}, {1,2,3}, {4,5} }
b) A = { {1,2,3,4,5}, {1,2,3}, {3}, {4,5}, {1,2,4,5}, {3,4,5}, {1,2} }

Habe die Aufzeichnungen auch nicht mehr. Hier was ich mir überlegt habe:
a) A = { {1,2,3,4,5}, {1,2,3}, {4,5} }
b) A = { {1,2,3,4,5}, {1,2,3}, {3}, {4,5}, {1,2,4,5}, {3,4,5}, {1,2} }

Es fehlt jeweils die leere Menge. Nützlich für den Test
dürfte folgendes sein: die Anzahl der Elemente einer Sigma-Algebra
M über einer endlichen Menge ist immer eine Zweierpotenz (z.B. 4
bzw. 8 in den Fällen a und b oben). Und das können Informatiker
schließlich schnell überprüfen [img]http://www.fb18.de/gfx/23.gif[/img]

Denn:
Man zerlege [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5COmega[/img] disjunkt als [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5COmega%3DA_1%2B%5Cldots%2BA_n[/img],
wobei [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?A_i%5Cin%20M[/img] und Ai nicht leer ist, und zwar mit
maximalem n (solche Zerlegungen existieren, da zumindest Omega
selbst stets in der Algebra enthalten ist). Dann gilt für jedes
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?B%5Cin%20M[/img] und jedes j: [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?B%5Ccap%20A_j%3D%5Cemptyset[/img] oder [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?B%5Ccap%20A_j%3DA_j[/img],
denn andernfalls erhielte man eine Zerlegung von [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5COmega[/img]
mit mehr als n Elementen (indem man nämlich in der Zerlegung Aj
durch [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?(A_j%5Ccap%20B)%2BA_j%5Csetminus(A_j%5Ccap%20B)[/img] ersetzt).
Mit anderen Worten: B ist disjunkte Vereinigung von gewissen Aj
(nämlich von denen, für die [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?B%5Ccap%20A_j%3DA_j[/img] gilt).
Man erhält also alle Elemente der Sigma-Algebra durch Vereinigen
dieser n Elemente (und alle diese Vereinigungen sind in der Sigma-
Algebra enthalten). Also enthält die Sigma-Algebra genau
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?2%5En[/img] Elemente.