Die Differentialgleichung vom Typ y' = x/y habe ich mehrfach in Prüfungsprotokollen gefunden, jedoch nirgends einen Hinweis, wie man da ran kommt. Gibt's da ne Methode, das clever umzuwandeln in eine Form y' = a(x)y + s(x) wie im Skript behandelt??
Keine Ideen? Hab' da morgen eine Prüfung, wäre schön wenn da jemand einen Ansatz hätte
Du willst eine Lösung für y' = x/y?
Sollte im Prinzip doch ganz einfach gehen:
y' = x/y
<=> dy/dx = x/y
<=> y * dy = x * dx
usw.
Oder habe ich jetzt irgendwas übersehen?
Ich nehme mal an, dass dort gemeint ist "y'=x/y falls
y ungleich 0".
EDIT: Achtung: Jetzt kommt Unsinn!Hmm, ich kenne mich mit Differentialgleichungen nicht
aus, aber die Funktionen y=cx mit konstantem c dürften
die Lösungen dieser Gleichung sein, wenn ich mich nicht
irre. Denn einerseits erfüllen sie die Gleichung und wenn
eine Funktion f die D.-Gleichung erfüllt, dann gilt
für g(x):=f(x)/x die Gleichung
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?g'(x)%3Df'(x)%2Fx-f(x)%2Fx%5E2%3D%5Cunderbrace%7B(f'(x)-f(x)%2Fx)%7D_%7B%3D0%7D%2Fx%3D0%2C[/img]
für x ungleich 0. also ist g(x) konstant auf [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cmathbb%7BR%7D%5Csetminus%5C%7B0%5C%7D[/img],
d.h. f(x)/x=g(x)=c und damit f(x)=cx für x ungleich 0. Aus
Stetigkeitsgründen ist dann f(x)=cx überall.
Edit: Ach Unsinn! Ich hab y'=y/x statt y'=x/y gelöst. Hmpf.
Tschuldigung.
Das ist eine Differentialgleichung mit getrennten Veränderlichen, also eine Gleichung der Form y' = f(x)g(y).
Im Skript von Andreae ist dazu ein Lösungsverfahren beschrieben:
Man schreibt dy/dx anstelle von y' und rechnet formal nach folgendem Schema:
dy/dx = x/y / * dx
dy = x/y dx / * y
y dy = x dx
jetzt auf beiden Seiten integrieren, also:
1/2 y^2 = 1/2 x^2 + c
Nach y aufgelöst ergibt sich dann:
y = Wurzel(x^2 + 2c)
Jetzt noch die gegebene Anfangsbedingung einsetzen um c auszurechnen. Wenn diese z.B. y(0)=1 ist, dann ergibt das:
c = 1/2
also
y = Wurzel(x^2 + 1)
ps. Ich hoffe natürlich du hast kein Andreae-Skript bei dir rumliegen, ansonsten vergiss was ich oben geschrieben hab und beherzige RTFM [img]
http://www.fb18.de/gfx/25.gif[/img]
pps. f und g sollen stetige, reellwertige Funktionen sein, die auf offenen Intervallen definiert sind. Division durch Null ist dann also nicht möglich.
Danke!! Sieht ganz einfach aus wenn man's mal gesehen hat.
Wenn man da nach dem guten alten "für jemanden mit einem Hammer sieht alles aus wie ein Nagel"-Methode rangeht und verzweifelt das a(x) sucht kommt man wohl nicht weit [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]
