Ich sitze an der Aufgabe aber komme einfach nicht zum gewünschten Ergebnis. Nach einigen Umformungen habe ich folgendes:

sum from n=1 to unendlich (P{X1+ … + Xy = k} * P{Y=n}) + P({Z=k}|{Y=0}) * P{Y=0}

Nun kann ja, so glaube ich zumindest, den rechten Summanden umformen; nach Def. ist Z=0, wenn Y=0, was hier der Fall ist, also steht dann:

sum from n=1 to unendlich (P{X1+ … + Xy = k} * P{Y=n}) + P({Z=0}|{Y=0}) * P{Y=0}

und die W., dass kein Zerfall registriert wird, wenn kein Zerfall stattfindet ist gleich 1, also erhält man dann

sum from n=1 to unendlich (P{X1+ … + Xy = k} * P{Y=n}) + P{Y=0}

Jetzt könnte man noch aus der Reihe den konstanten Faktor
P{X1+ … +Xy = k} rausziehen und erhält

P{X1+ … +Xy = k} * sum from n=1 to unendlich (P{Y=n}) + P{Y=0}

Nun ist der Ausdruck schon sehr vereinfacht; es müssen nur die Umformungen stimmen, aber ist mir vielleicht ein Fehler unterlaufen, den am Ende erhalte ich nicht das Ergebnis, sonder es bleibt nur noch P{X1+ … Xy = k} überig, aber dies ist nicht Poisson(lambda * p), sondern B(Y,p) verteilt; iergendwie glaube ich, dass es bei dem rausziehen des konstanten Faktors zu einem Fehler gekommen sein könnte, bin mit aber nicht sicher. Ausserdem ist Beziehung zwischen dem Y und dem n hier auch sehr entscheidene, glaube ich.

Was meint ihr, habe ich einfach eingebaut, den ich nicht sehe bzw. habt ihr die gleichen Probleme und vielleicht einen Tipp, wie man auf die richtige Lösung kommt mit Poisson(lambda * p)?

moin auch ich glaub, man kann diese Summe, die du von n=1 bis unendlich laufen laesst auch einfach bei n=0 starten, dann hast du diese bloede Fallunterscheidung nicht mehr…
ICh hab dann einfach:

Summe(n=0 bis Unendl.) P{X1+…+Xn=k} P{Y=n}

die X-se sind alle zusammen ~B(n,p) und das Y~Poisson(Lambda)

naja und dann die Zaehldichten einsetzen…

aber ich bekomm das nicht zu ende umgeformt auf:

e^(-p*Lambda) * ((p*Lambda)^n) / (Fak(n))

…

ok, wir haben nach einigen Umformumgen folgende Formel erhalten:
Summe(n=0 bis unendlich) (n ueber k) * p^k * (1-p)^n-k * e^-lambda * lambda^n / n!

kann das jmd bestaetigen? wenn ja, hat den jmd noch einen tipp wie es weitergeht?

oder habt ihr was anderes und wir sind so ziemlich auf dem holzweg…

Bestätigt!

jo, danke. aber kannst du uns auch nen tipp geben, wie wir weiter kommen? wir kommen uns naemlich so vor: [img]http://www.fb18.de/gfx/wand.gif[/img]

Summe(n=0 bis unendlich) (n ueber k) * p^k * (1-p)^n-k * e^-lambda * lambda^n / n!

kann das jmd bestaetigen?

Hier muss nicht ab 0, sondern ab k summiert werden, denn für
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?1%5Cle%20n%3Ck%5Cge%201[/img] ist:

[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?P%5C%7BX_1%2B%5Ccdots%2BX_n%3Dk%5C%7D%3D0[/img]
während (n über k) für n<k nicht definiert ist.

Sonst ist es aber meiner Ansicht nach richtig.

wenn ja, hat den jmd noch einen tipp wie es weitergeht?

Konstante Faktoren herausziehen, Indexverschiebung machen und
das Ziel nicht aus dem Auge verlieren: Man überlege sich,
welchen Wert die Summe haben muss, damit zusammen mit dem
Vorfaktor (den man dann nach vorn gezogen hat) das gewünschte
Ergebnis herauskommt.

*hust* Ex *hust* ponential *räusper* funktion

P.S.: Danke Georg, hat sehr geholfen.

Also ich habe das selbe wie oben raus, also

sum from n=1 to unendlich ((n über k) * (1-p)^(n-k) * p^k * e^(-lambda) * (lambda^n / n!))

dann habe ich versucht das n über k auszuschreiben und dann konstante Faktoren nach vorne zu ziehen und habe dann das raus

(p^k / k!) * e^(-lambda) * sum from n=1 to unendlich ( (1-p)^(n-k) * (lambda^n / (n-k)!))
(Stimmt das bis jetzt)
Man könnte jetzt noch das (1-p)^-k rausziehen.
Ich weiss aber nicht was ich jetzt machen; ich habe zwar geom. Reihe im Gedanken, weiss aber nicht wie ich es anwenden soll, denn es soll ja

e^(-lambda *p) * (lambda * p^k / k!) rauskommen.

also wenn du
sum from n=1 to unendlich ((n über k) * (1-p)^(n-k) * p^k * e^(-lambda) * (lambda^n / n!)) hast, dann kannst du lambda^n/n! umformen in lambda^k * lambda^n-k/n!, dann kannst du lambda^k mal mit p^k zusammenfassen und dir mal das umgeformte n über k ansehen. dann hast du eigentlich schon lambda * p^k / k!. der rest ergibt sich dann eigentlich.
hoffe es hat dir geholfen

Gregor ich liebe dich.