Es soll VarX bestimmt werden, aber ich schaffe es einfach nicht den Tipp für zu benuten, also dass mit der Summe von k=2 bis unendlich.

ich habe es zuerst mal nach Def. hingeschrieben, also

VarX = sum from (k in T(X)) (k-EX)^2 * P(X=k).

Ich habe mir dann überlegt, dass man die Summe umschreiben kann und zwar sum von k aus X(T) ist das selbe wie sum von k=1 bis unendlich; stimmr das?

Ich habe dann versucht iergendwie so umzuformen, um auf die gewünschte Form zu kommen, um dann den Tipp zu benutzen, habe es aber nicht schaffen können.

Habt ihr es vielleicht geschafft, den Tipp anzuwenden?

Es soll VarX bestimmt werden, aber ich schaffe es einfach nicht den Tipp für zu benuten, also dass mit der Summe von k=2 bis unendlich.

ich habe es zuerst mal nach Def. hingeschrieben, also

VarX = sum from (k in T(X)) (k-EX)^2 * P(X=k).

Das ist zwar richtig, aber wenn du hier statt dem Einsetzen
in die Definition für den Erwartungswert zunächst die
Rechenregeln anwendest, kommst du bestimmt schneller
zum Ziel, denn du kennst ja bereits den Erwartungswert
für X. Zeige:
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?E(X-EX)%5E2%3DE(X%5E2)-(EX)%5E2[/img]

EDIT: Ich sehe gerade: das steht auch im Skript,
als "Verschiebungssatz von Steiner". (Dazu braucht
man aber nicht den Pythagoras, das geht einfach
mit den Rechenregeln für den Erwartungswert).

Ich habe mir dann überlegt, dass man die Summe umschreiben kann und zwar sum von k aus X(T) ist das selbe wie sum von k=1 bis unendlich; stimmr das?

Das kann man hier machen, weil die Summe über die k aus X(T)
ja genau dann definiert ist, wenn die Summanden absolut
konvergieren. Absolute Konvergenz (und in diesem Fall auch der
Grenzwert) ist aber unabhängig von der Reihenfolge der Summanden.
Wenn du also zeigst, dass die Reihe mit dieser Wahl der
Reihenfolge (nämlich 0,1,2,…) absolut konvergiert, dann ist der
errechnete Grenzwert der Grenzwert für jede Reihenfolge und
auch (per Definition) der Wert der ursprünglichen Summe. Da hier
alle Summanden nichtnegativ sind, musst du für die absolute
Konvergenz nur zeigen, dass die Reihe überhaupt konvergiert
(und das kannst du mithilfe des Tips).

Ich habe dann versucht iergendwie so umzuformen, um auf die gewünschte Form zu kommen, um dann den Tipp zu benutzen, habe es aber nicht schaffen können.

Wenn du obige Umformung vor dem Einsetzen machst, sollte
es etwas einfacher werden.

Hilft dir das weiter?

Mir nicht!
EX hab ich, ok, also kann ich auch (EX)² berechenen. fein.
Aber E(X²) nicht. unter 7.10 steht, dass

[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?E(X%5E2)%20=%20%5Csum_%7Bx%20%5Cin%20X(T)%7Dx%5E2P%5E%7BX%7D%5C%7Bx%5C%7D[/img]
ist ja
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Csum_%7Bx=1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20x%5E2%20(1-p)%5E%7Bx-1%7D[/img]
oder?
trotzdem finde ich nicht den weg zu der angegebenen Form im Tip :|

und: bei b) heisst es einfach X~P(lambda)
aber bei a) war die Verteilung auch nicht gleich die die er vorne angab (kein Binominialkoeffizient). woher soll ich denn nun genau wissen, was bei b) P(X=x) ist?!?

danke,
pazz

unter 7.10 steht, dass

[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?E(X%5E2)%20%3D%20%5Csum_%7Bx%20%5Cin%20X(T)%7Dx%5E2P%5E%7BX%7D%5C%7Bx%5C%7D[/img]
ist ja
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20x%5E2%20(1-p)%5E%7Bx-1%7D[/img]
oder?
trotzdem finde ich nicht den weg zu der angegebenen Form im Tip :|

Du hast sie doch schon dastehen, außer, dass du x statt k als
Laufvariable hast. Das x in der angegebenen Formel ist nicht
dein jetziges x. Jetzt klar?

und: bei b) heisst es einfach X~P(lambda)

woher soll ich denn nun genau wissen, was bei b) P(X=x) ist?!?

Bei mir steht X~Poisson(lambda). Gibt es verschiedene
Versionen? Und diese Schreibweise ist auf Seite 10 im Skript
erklärt: es bedeutet, dass X Poisson-verteilt ist:
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?P%5C%7BX%3Dk%5C%7D%3D%5Cfrac%7B%5Clambda%5Ek%7D%7Bk!%7De%5E%7B-%5Clambda%7D[/img].

aber bei a) war die Verteilung auch nicht gleich die die er vorne angab (kein Binominialkoeffizient).

Mit vorne meinst du Gleichung (2)? Die Verteilung ist doch
durch Gleichung (2) definiert; ich verstehe jetzt nicht ganz,
wo Binomialkoeffizienten hinsollten/herkommen…

unter 7.10 steht, dass

[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?E(X%5E2)%20%3D%20%5Csum_%7Bx%20%5Cin%20X(T)%7Dx%5E2P%5E%7BX%7D%5C%7Bx%5C%7D[/img]
ist ja
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20x%5E2%20(1-p)%5E%7Bx-1%7D[/img]
oder?
trotzdem finde ich nicht den weg zu der angegebenen Form im Tip :|

Du hast sie doch schon dastehen, außer, dass du x statt k als
Laufvariable hast. Das x in der angegebenen Formel ist nicht
dein jetziges x. Jetzt klar?

Also soweit war ich auch gekommen, habe allerdings auch schwierigkeiten von [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20x%5E2%20(1-p)%5E%7Bx-1%7D[/img] zu [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Csum_%7Bx%3D2%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20x(x-1)%20(1-p)%5E%7Bx-2%7D[/img] zu kommen.

Ich habe bisher lediglich zu [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?(%20%5Csum_%7Bx%3D2%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20x%5E2%20(1-p)%5E%7Bx-2%7D%20)%20%5Ccdot%20p%20%5Ccdot%20(1-p)%20%2B%20p%20[/img] umformen koennen durch rausziehen des ersten Summanden und Ausklammern. Dann ist immernoch x^2 da.

Hab ich was falsch gemacht, oder muss ich tatsaechlich noch innerhalb der Summe [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?(1-p)%5E%7Bx-2%7D[/img] rausziehen und dann einzeln die Reihen bilden (Laut Quotientenkrit. konvergierts, aber k.A. zu welchem Wert), das scheint mir irgentwie zu kompliziert.

Also soweit war ich auch gekommen, habe allerdings auch schwierigkeiten von [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20x%5E2%20(1-p)%5E%7Bx-1%7D[/img] zu [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Csum_%7Bx%3D2%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20x(x-1)%20(1-p)%5E%7Bx-2%7D[/img] zu kommen.

Hier kann man das Ergebnis zu EX benutzen:
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%5Cinfty%20k%5E2(1-p)%5E%7Bk-1%7Dp%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%5Cinfty%20k%5E2(1-p)%5E%7Bk-1%7Dp-%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%5Cinfty%20k(1-p)%5E%7Bk-1%7Dp%2BEX[/img]
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%5Cinfty%20(k%5E2-k)(1-p)%5E%7Bk-1%7Dp%2BEX[/img].
Jetzt musst du noch ein wenig umschreiben, Summanden
abspalten, ausklammern und schon steht's da.


Da du's schon angesprochen hast:
Übrigens kann man, wenn man weiss, dass eine Reihe
konvergiert, den Grenzwert mit einem Standardverfahren
manchmal auch anders berechnen, dann muss man hier nicht
unbedingt den Tip reinquälen:

Zum Beispiel bei der geometrischen Reihe. Da eine
Teilfolge einer konvergenten Folge gegen denselben
Grenzwert konvergiert, gilt
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?g%3A%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20x%5Ek%3D%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D%20%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20x%5Ek%3D%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D%20%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn%2B1%7Dx%5Ek[/img]
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%3D%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D%201%2Bx%5Cleft(%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20x%5Ek%5Cright)%3D1%2Bx(%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%20x%5Ek)%3D1%2Bxg[/img].

Und an der Gleichung g=1+xg liest man [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?g%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B1-x%7D[/img] ab.
Ganz analog kann man hier auch eine Gleichung für die Reihe von
Var X aufstellen und diese dann lösen.

Jetzt musst du noch ein wenig umschreiben, Summanden
abspalten, ausklammern und schon steht's da.

Hmm, ok, danke, das war der entscheidende Schritt auf den ich nicht kam. Ich hab jetzt zwar das doppelte von dir raus ( bei mir kuerzt sich die 2 aus dem Tipp nicht wech, aber naja… Prinzipiell stimmt ja [img]http://www.fb18.de/gfx/25.gif[/img] )

Da du's schon angesprochen hast:
Übrigens kann man, wenn man weiss, dass eine Reihe
konvergiert, { snip - zuviel fuer mich grade [img]http://www.fb18.de/gfx/25.gif[/img] }

Muss man denn nicht eigentlich schon wissen/beweisen dass die Reihen konvergieren, damit man sie ueberhaupt zusammenziehen darf (das sind ja schliesslich keine endlichen Summen, oder hab ich mir da ueberfluessigerweise den Koenigsberger zu rate gezogen?

Muss man denn nicht eigentlich schon wissen/beweisen dass die Reihen konvergieren, damit man sie ueberhaupt zusammenziehen darf (das sind ja schliesslich keine endlichen Summen, oder hab ich mir da ueberfluessigerweise den Koenigsberger zu rate gezogen?

(Den zurate zu ziehen ist nie überflüssig [img]http://www.fb18.de/gfx/23.gif[/img])

Ja, da hast du vollkommen recht. Der Argumentation entlang der
Gleichheitszeichen zu folgen, ist hier nicht ganz richtig.
Es wird hier gewissermaßen von hinten nach vorne argumentiert:
wenn du die Gleichungskette zuende geschrieben hast, hast du
eine Reihe dastehen, die nach dem Tip konvergiert und zwar
gegen den dann eingesetzten Grenzwert. Du weisst also: die
Reihe, von der man behauptet, sie sei die Differenz, konvergiert.
Da du außerdem weisst, dass der zweite Summand (also die
Reihe hinter dem Minus) konvergiert, folgt, dass der erste
Summand konvergiert (denn er ist ja Summe zweier konvergenter
Reihen). Und dann hast du eigentlich erst diese Gleichheit.
(War das ausführlich genug?)

Streng genommen müsste man das so aufschreiben. Aber ich denke,
das reicht hier auch so.

(War das ausführlich genug?)

Jupp [img]http://www.fb18.de/gfx/10.gif[/img]

Streng genommen müsste man das so aufschreiben. Aber ich denke,
das reicht hier auch so.

Davon gehe ich eigentlich auch aus, aber danke nochmal fuer die Klarstellung.