Aufgabe:
Zeige durch Anwendung des Satzes über monotone, beschränkte Folgen, dass die Folge (an), die durch

a1=1/2, an+1=an(2-an)

definiert ist.

Meine Überlegung war erstmal die obere Beschrankung durch vollständige Induktion nachzuweisen. also

Anfang: n=1

a1 = 1/2 < 1

Annahme gilt für ein n…

zu zeigen: an+1 < 1

an+1 = an(2-an) < 1

2an - an^2 < 1 |*(-1)

an^2 - 2an > -1 |+1

an^2 - 2an +1 > 0

(an-1)^2 > 0

an -1 > 0

an > 1

hä??? Wie geht das denn? ich mein a1 und a2 sind ja nun kleiner als 1. Was habe ich falsch gemacht? Und wie komm ich zur richtigen Lösung.

(an-1)^2 > 0

an -1 > 0

Diesen Schritt solltest du dir vielleicht nochmal durch den Kopf gehen lassen. Sind diese beiden Aussagen wirklich äquivalent? Oder bist du gar vorher schon fertig? Was möchtest du bei diesen Umformungen eigentlich als Ergebnis haben?

aber natürlich es könnte ja auch
(an -1)^2 > 0 => an - 1 < 0 folgen.
und somit an < 1 oder?

(an-1)^2 > 0

an -1 > 0

Diese Folgerung klappt nicht.

aber natürlich es könnte ja auch
(an -1)^2 > 0 => an - 1 < 0 folgen.
und somit an < 1 oder?

Was willst du mit diesem Schritt denn erreichen?

Mit (an -1)^2 > 0 hast du eine wahre Aussage (zumindest in R\{1}, für R machste eben >= draus), die sich äquivalent umformen lässt zu der Aussage, die zu zeigen ist ("zu zeigen: an+1 < 1").
Warum fängst du nicht einfach mit dem ersten Ausdruck an und schreibst dann solange auf, bis du bei dem Ausdruck "an+1 < 1" angelangt bist? Dahinter noch ein "q.e.d" und gut..
Ich hoffe, ich hab jetzt nicht zu viel verraten, aber im Prinzip hattest du die Lösung da ja schon stehen.