Hallo,

wie kann man am besten prüfen ob eine Matrix diagonalisierbar ist?

Im Skript steht das nur zu Endomorphismen und ich hab Probleme die Regel dann einleuchtend auf eine Matrix zu bringen…

wie kann man am besten prüfen ob eine Matrix diagonalisierbar ist?

Das geht z.B., indem man sich das charakteristische Polynom
anschaut und nachsieht, ob für jede Nullstelle die algebraische
Vielfachheit der Dimension des Eigenraums (die Nullstelle ist ja
ein Eigenwert und hat daher einen Eigenraum) entspricht.

D.h. man bringt das charakteristische Polynom auf die Form
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?f(X)%3D%5Cprod_%7Bj%3D1%7D%5En%20(X-%5Calpha_j)%5E%7Bk_j%7D[/img]
und prüft für jedes j nach, ob [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?k_j[/img] der Dimension
des Eigenraums zu [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Calpha_j[/img] entspricht.

Vielleicht gibt es aber auch bessere Verfahren (siehe unten).

Im Skript steht das nur zu Endomorphismen und ich hab Probleme die Regel dann einleuchtend auf eine Matrix zu bringen…

Eine nxn-Matrix ist doch immer ein Endomorphismus im K^n:
indem man die Spalten als die Bilder der Basisvektoren verwendet.
Und Diagonalisierbarkeit eines Endomorphismus bedeutet doch auch
nur, dass die zugehörige Matrix diagonalisierbar ist.

Hilft dir das weiter?

Ja Danke das hilft schonmal. Ich dachte, dass man das evtl. einer
Matrix so ansehen kann, ohne etwas großartig vorher bestimmen zu müssen. Habe nur im Ergänzungsfach-Matheprotokoll von Bönecke gelesen:

Prüfen Sie die 2x2 Matrix

(1 1)
(0 1)

auf diagonalisierbarkeit.

Kann man ihr bestimmt auch ansehen, muss ich mir wohl nochmal Gedanken zu machen.

Ja, hier geht das Verfahren recht schnell. Das charakteristische
Polynom ist nämlich [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?(X-1)%5E2[/img]. Wenn die Matrix
diagonalisierbar wäre, müsste der Eigenraum zum Eigenwert 1
Dimension 2 haben, dann wäre die Matrix aber die
Identitätsabbildung, und damit die Einheitsmatrix, was nicht der
Fall ist.

Ah ok, vielen Dank.
(Das müsste für die Prüfung ja reichen ;))