Laut Günther-Skript 21.23 ist die Determinante einer Dreiecksmatrix das Produkt der Hauptdiagonale. Ich kann aber doch aber aus jeder nXn-Matrix eine Dreiecksmatrix machen. (Oder sehe ich das falsch?) Wozu brauch ich dann aber noch diesen ganzen Entwicklungskram, der imo viel aufwendiger ist?

Laut Günther-Skript 21.23 ist die Determinante einer Dreiecksmatrix das Produkt der Hauptdiagonale. Ich kann aber doch aber aus jeder nXn-Matrix eine Dreiecksmatrix machen.

Ja, kannst Du. Musst aber bedenken, dass sich die Determinante dann auch ändert.

Wozu brauch ich dann aber noch diesen ganzen Entwicklungskram, der imo viel aufwendiger ist?

Kommt immer drauf an, was man machen will. Wenn man nur eine einzige Determinante ausrechnen will, ist auf Dreiecksform bringen wirklich 'ne schöne Methode. Wenn man aber allgemeine Sätze über Determinanten beweisen will, geht man eher über die Entwicklung.

UncleOwen:

Laut Günther-Skript 21.23 ist die Determinante einer Dreiecksmatrix das Produkt der Hauptdiagonale. Ich kann aber doch aber aus jeder nXn-Matrix eine Dreiecksmatrix machen.

Ja, kannst Du. Musst aber bedenken, dass sich die Determinante dann auch ändert.

Ne Matrix in Dreiecksform bringen kann man doch afaik mit elementaren Umformungen vom Typ B^(n)_kl und dann ändert sich die Determinante nicht.

UncleOwen:

Wenn man nur eine einzige Determinante ausrechnen will, ist auf Dreiecksform bringen wirklich 'ne schöne Methode.

Das ist doch schon mal was. [img]http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img]

Vielen Dank, NaZo

Ne Matrix in Dreiecksform bringen kann man doch afaik mit elementaren Umformungen vom Typ B^(n)_kl und dann ändert sich die Determinante nicht.

Wenn B^(n)_kl das ist, was ich denke, verändert sich die Determinante um den Faktor n. Aber ich kenne Günthers Notation da nicht.

"A * B^(n)_kl (a)" heißt, das bei einer Matrix A mit n Zeilen, dass a-fache der l-ten Zeile zur k-ten Zeile addiert wird und det (A * B^(n)_kl (a)) = det (A).

Nur wenn man eine Zeile einfach so mit a multipliziert, ändert sich die Determinante um den Faktor a. Das wäre nach Günther die Umformung vom Typ D_n (k,a).

Natürlich. B^(n)_kl (a) ist obere Dreiecksmatrix mit 1 auf der Diagonale. Ich nehme alles zurück und behaupte das Gegenteil.

UncleOwen:

B^(n)_kl (a) ist obere Dreiecksmatrix mit 1 auf der Diagonale.

…und a in der kl-ten Stelle.

… aeh eine Frage haett ich da noch

moin auch kann mir mal einer verraten was man mit einer Determinante macht ? ich weiss dumme frage aber ich bekomm immer nur ferzaehlt, wie man die dinger ausrechnet …

kann mir mal einer verraten was man mit einer Determinante macht ?

Die wichtigste Anwendung ist wohl die Überprüfung,
ob eine Matrix invertierbar ist (das ist nämlich genau dann
der Fall, wenn ihre Determinante invertierbar ist).

Als nächstes fiele mir noch das charakteristische Polynom ein,
mit dem man ja Eigenwerte einer Matrix berechnen kann. Und das
charakteristische Polynom ist ja gleich
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cdet(XE_n-A)[/img]
(wenn A eine n*n-Matrix ist und [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?E_n[/img] die
n*n-Einheitsmatrix), also eine Determinante.

Dann kann man damit Volumina ausrechnen (so wurde es auch in
meinem LinAlg-Buch eingeführt). Die Determinante einer Matrix
ist nämlich auch das Volumen des von den Spalten aufgespannten
Spats (bei einer 2*2-Matrix also das Parallelogramm, dessen
Kanten die beiden Vektoren sind).

Schließlich eine schöne Anwendung, die aber vielleicht etwas
seltener ist: man kann damit prima Gruppen definieren. Das liegt
am Determinantenmultiplikationssatz:
det(AB)=det(A)*det(B).
Hat man also eine multiplikative Untergruppe H des Körpers, in dem
die Einträge liegen, so ist
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?M_H%3D%5C%7BA%5Cin%20M(n%5Ctimes%20n%2C%20K)%20%5Cmid%20%5Cdet(A)%5Cin%20H%5C%7D[/img]
eine Gruppe von Matrizen. Die Gruppen-
Eigenschaften rechnet man leicht nach. Ein Beispiel hierfür sind
die invertierbaren Matrizen mit H=K\{0} oder die Matrizen mit
Determinantenbetrag 1, also H={-1, 1}. Oder auch die Matrizen
mit positiver Determinante: [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?H%3D%5Cmathbb%7BR%7D%5E*_%2B[/img], wobei [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cmathbb%7BR%7D[/img] der Körper ist.
Oder mit [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?H%3D%5Cmathbb%7BQ%7D%5Csetminus%20%5C%7B0%5C%7D[/img] die Matrizen mit rationaler Determinante
usw. Sie liefert also Gruppen in Hülle und Fülle.

achja .. und man kann damit Gleichungen mit Unbekannten berechnen .. also die Unbekannten …
*das Bett suchen geht*