G = Gruppe, die auf der Menge X operiert, |G|=55, |X|=18
a) Seien Gx, x€X die Bahnen. Bestimme die möglichen |Gx|
b) Zeige, dass G mindestens einen Fixpunkt hat.

Wie geh ich denn da ran?

öhhm, keiner? ;)

bin mir nicht sicher was ein fixpunkt einer gruppe ist:

[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?x%20%5Cin%20X%20%5Ctextnormal%7B%20ist%20Fixpunkt%20von%20G%7D:%5Ciff%5Cforall%20g%20%5Cin%20G:g(x)=x[/img]?

Hm, also bei mir war das nicht in M1 dran, da musste ich also
erstmal Definitionen recherchieren.

Für die Lösung würde ich folgende Resultate benutzen:
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?G%2FG_x%5Ccong%20Gx[/img],
wobei [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?G_x%3D%5C%7Bgx%5Cmid%20g%5Cin%20G%5C%7D[/img]
(die Isomorphie geht mit dem Homomorphiesatz, angewendet auf
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?G%5Crightarrow%20Gx%2C~%20g%5Cmapsto%20gx.[/img]).
Und ein Fixpunkt ist ein Element [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?x%5Cin%20X[/img]
mit [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?G_x%3DG[/img]. Außerdem ist X stets disjunkte
Vereinigung von Mengen der Form Gx. Aus [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?G%2FG_x%5Ccong%20Gx[/img] folgt [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%7CG%7C%3D%7CG_x%7C%7CGx%7C[/img].

Zur Lösung:
(a) Wegen [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%7CG%7C%3D%7CG_x%7C%7CGx%7C[/img] muss |Gx| immer ein Teiler
von |G|=55 sein. Dessen Primfaktorzerlegung ist 5*11, also
hat |G| nur die Teiler 1, 5, 11, 55. Und das sind die möglichen
Werte für |Gx|.

Edit: Argh, die Summe stimmt nicht ganz, die x unter der Summe
sind nicht alle x, sondern nur einige, ist jetzt korrigiert.

(b) Da X disjunkte Vereinigung der Gx ist, gilt
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?18%3D%7CGx_1%7C%2B%7CGx_2%7C%2B%5Cldots%2B%7CGx_n%7C[/img],
wenn [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5C%7Bx_i%5C%7D[/img] ein Vertretersystem
dieser disjunkten Mengen ist.
Da aber |Gx| stets 1, 5, 11 oder 55 ist, muss einer dieser
Summanden 1 sein (nur mit den Summanden 5, 11 lässt sich
18 nicht als Summe darstellen). Also gibt es ein x mit
|Gx|=1, also Gx={x}. Das heisst aber [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?G_x%3DG[/img],
also haben wir einen Fixpunkt gefunden.

(Genau genommen sieht man an der Summendarstellung, dass es
sogar mindestens 2 Fixpunkte geben muss, denn näher als bis 16
kommt man mit 11 und 5 nicht an die 18 ran).

Edit: Edit wieder gelöscht, war falsch [img]http://www.fb18.de/gfx/7.gif[/img]

wobei |Gx|=55 unwahrscheinlich ist…

[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?x%20%5Cin%20X%20%5Ctextnormal%7B%20ist%20Fixpunkt%20von%20G%7D%3A%5Ciff%5Cforall%20g%20%5Cin%20G%3Ag(x)%3Dx[/img]?

Ganz genau.

wobei |Gx|=55 unwahrscheinlich ist…

Es ist dann ja |Gx|=1.

Es ist dann ja |Gx|=1.

wie meinste das?
ich meinte:

[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%7CG_x%7C%5Cin%5C%7B5,11,55%5C%7D%20%5Cwedge%20%7CGx%7C%5Cin%5C%7B1,5,11%5C%7D[/img]

Achso, du meintest [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%7CG_x%7C%3D55[/img]. Das ist
natürlich richtig, wenn x ein Fixpunkt ist.

ok…ich meinte eigentlich, dass ein Orbit von G nicht 55 Elemente haben kann, wenn die Menge auf der G operiert nur 18 hat.

Achso! Jetzt weiss ich was du meinst [img]http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]. Klar.
Gut, man kann noch dazuschreiben, dass 55 nicht auftritt,
aber das ist ja für den Beweis nicht nötig.

ja klar, dein beweis geht auch so, wollte nur vermeinden, dass unklarheiten entstehen