Wenn ich folgende Aufgabe habe…

G sei eine Gruppe der Ordnung 3. Zeige, daß G x H nicht zyklisch ist. H ist dabei die Gruppe U(Z_14), also {1,3,5,9,11,13} und hat demzufolge Mächtigkeit 6.

Kann mir jemand von Euch sagen, wie ich da gedanklich vorgehen muß?

Man kann hier allein mit den Gruppenordnungen argumentieren.
Wegen |G|=3 und |H|=6 ist |GxH|=18. Wäre nun GxH zyklisch,
so gäbe es ein [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?(a%2Cb)%5Cin%20G%5Ctimes%20H[/img] mit

[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?G%5Ctimes%20H%3D%5C%7B(a%2Cb)%5Ek%5Cmid%201%5Cle%20k%5Cle%2018%5C%7D%3D%5C%7B(a%5Ek%2Cb%5Ek)%5Cmid%201%5Cle%20k%5Cle%2018%5C%7D[/img].

Nach dem kleinen Satz von Fermat gilt aber für alle Elemente
g aus G: [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?g%5E3%3D1_G[/img] (wobei [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?1_G[/img] das
neutrale Element aus G sein soll). Andererseits gilt für alle
Elemente h aus H: [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?h%5E6%3D1_H[/img]. Insgesamt folgt

[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?(a%2Cb)%5E6%3D(a%5E6%2C%20b%5E6)%3D((a%5E3)%5E2%2C%20b%5E6)%3D(1_G%2C%201_H)%3D1_%7BG%5Ctimes%20H%7D[/img]
für alle [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?(a%2Cb)%5Cin%20G%5Ctimes%20H[/img]. Nach 6 Potenzen ist also
schon wieder das neutrale Element dran. Folglich gilt

[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%7C%5C%7B(a%2Cb)%5Ek%5Cmid%201%5Cle%20k%5Cle%2018%5C%7D%7C%3D6[/img], also
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5C%7B(a%2Cb)%5Ek%5Cmid%201%5Cle%20k%5Cle%2018%5C%7D%5Cne%20G%5Ctimes%20H[/img],
egal, welches Element (a,b) aus GxH man wählt.

GxH kann also nicht zyklisch sein.

Alles klar, vielen Dank!