f:ZxZ->ZxZxZ mit f(a,b)=(ab, ab+2a, (a^2-2)b)
Zeige, dass f nicht surjektiv ist.
Wer kann mir dies beweisen?
So wie er es in einer Klausur notieren würde.
Du musst nur ein Gegenbeispiel finden.
also in diesem fall ein Element von ZxZxZ, das sich nicht als f(a,b) darstellen lässt.
z.b. Angenommen (0,1,0) = (ab, ab+2a, (a^2-2)b)
=> (i) ab = 0
(ii) ab + 2a = 1
(iii) (a^2-2)b = 0
aus (ii) und (i) folgt: 0 + 2a = 1 => a = 1/2 !e Z, aber a,b müssen e Z sein. also lässt sich (0,1,0) nicht darstellen, f ist nicht surjektiv
(e = Element, !e = nicht Element)
wie siehts eigentlich aus mit dem Beweis von Surjektivität?
Ich würde einfach schreiben, dass jeder Funktionswert mit der gegebenen Funktion erreicht werden kann.
Würde dieser naütlichsprachliche Satz so reichen, oder sollte ich das noch irgendwie mit mathematischer Syntax schön verpacken?
du solltest schon mathematisch zeigen, dass das tatsächlich immer gilt.
Beispiel: f(x) = x + 3
Sei a € Z
Dann existiert x = a - 3, so dass f(x) = a
wie siehts eigentlich aus mit dem Beweis von Surjektivität?
Ich würde einfach schreiben, dass jeder Funktionswert mit der gegebenen Funktion erreicht werden kann.
Würde dieser naütlichsprachliche Satz so reichen, oder sollte ich das noch irgendwie mit mathematischer Syntax schön verpacken?
Dann kann man ja mit 50:50-Chance den Satz immer drunterschreiben ;) Ein Beweis ist das noch nicht. Ein Beweis sieht z.B. so aus:
zu Zeigen: f(x) = x+1, f: Z –> Z ist surjektiv
Beweis:
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?f%3AZ%20%5Crightarrow%20Z%20surj.%20%5CLeftrightarrow%20%5CForall%7By%20%5Cin%20Z%7D%5CExists%7Bx%20%5Cin%20Z%7D%20f(x)%20%3D%20y[/img]
sei nun [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?y%20%5Cin%20Z[/img]
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?f%5C%20surj.%20%5CLeftrightarrow%20%5CExists%7Bx%20%5Cin%20Z%7D%20f(x)%20%3D%20y[/img]
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5CLeftrightarrow%20%5CExists%7Bx%20%5Cin%20Z%7D%20x%20%2B%201%20%3D%20y[/img]
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5CLeftrightarrow%20%5CExists%7Bx%20%5Cin%20Z%7D%20x%20%3D%20y%20-%201[/img]
Da die ganzen Zahlen bezüglich der Operation "-" abgeschlossen ist, lässt sich zu jedem y so ein x finden, womit die Funktion surjektiv ist. q.e.d.
Das ist jetzt recht formal notiert, aber ich denke ihr erkennt das Prinzip
f:ZxZ->ZxZxZ mit f(a,b)=(ab, ab+2a, (a^2-2)b)
Wie war das nochmal, um zu wiederlegen ob z.b. die oben genannte Funktion Surj, bzw. Inj. ist:
wenn "ab" (oder "ab+2a", oder "(a^2-2)b") nicht surj. ist, dann ist f(a,b) nicht surjektiv.. oder war das für injektiv ??
*grübel*
falls du mit 'wenn "ab" nicht surj. ist' meinst,
dass du ein Element der ersten Dimension des Bildbereiches gefunden hast,
das in keinem Funktionswert der Funktion vorkommt,
dann würde dieser Umstand natürlich bewirken dass die gesamte Funktion nicht surjektiv ist,
denn durch Hinzunahme der beiden weiteren Bilddimensionen bleibt ja die 'Lücke' im Bild offen,
andererseits muss 'wenn "ab" nicht inj. ist' nicht unbedingt ebenso dazu führen,
dass die gesamte Funktion nicht injektiv ist,
eine zweite Dimension könnte durchaus für sich injektiv sein
und dann alleine das Bild eindeutig identifizieren
(vergleiche Primärschlüsseleigenschaft in Datenbanken)
