Ahoi,

f: CxC –> CxC sei definiert durch:
f(z,w) = (z^quer, z*w)

z^quer := konjugiert komplexe Zahl zu z

a) Prüfe, ob f injektiv ist
b) Prüfe, ob f surjektiv ist


Mein Ansatz:
a) f ist injektiv:
Beweis:
Sei f(z,w) = f(z',w') ==> (z^quer = z'^quer) ^ (zw = z'w')
Wenn ich den 2. Teil umstelle, erhalte ich:
z = z'w'/w und das setze ich mal in den 1. Teil ein:
(z'w'/w)^quer = z'^quer

Jetzt die Frage: kann ich an dieser Stelle einfach sagen: das "konjugiert komplexe" zweier Zahlen aus C "hebt sich auf" ? So dass dann da steht:
z'w'/w = z'

Denn dann multipliziere ich mit w und erhalte z'w' = z'w und damit w = w'

.. andernfalls wird das eine ewig lange Umformung, oder nicht?!

Jetzt die Frage: kann ich an dieser Stelle einfach sagen: das "konjugiert komplexe" zweier Zahlen aus C "hebt sich auf" ? So dass dann da steht:
z'w'/w = z'

Ja, das Bilden der konjugiert komplexen Zahl ist eine Äquivalenzumformung.

na gut, ok.. und was ist mit b) ist f surjektiv?

zu injektiv… f(0,1) = (0,0) = f(0,2)… also eher nich
und surjektiv:

(a, b) = (z^quer, z * w) = f(z, w)

a= z^quer => z = a^quer
b= z * w => w = b / a^quer (geht nicht wenn a = 0)

f(z,w) = (0,1) ist nicht also nicht möglich (nicht surj)