Folgende Frage:

Zeige, dass für alle n >= 3 gilt:
|U(Zn)| ist gerade.

Zn sind also die ganzen Zahlen modulo n und U ist die Menge der invertierbaren Elemente einer Menge.
Für Primzahlen wäre das ja nicht so schwer zu zeigen, denn jede Primzahl > 2 ist gerade, wie aber zeige ich das allgemein?

Für Primzahlen wäre das ja nicht so schwer zu zeigen, denn jede Primzahl > 2 ist gerade, wie aber zeige ich das allgemein?

gerade? –> 3,5,7,11,13…

Für Primzahlen wäre das ja nicht so schwer zu zeigen, denn jede Primzahl > 2 ist gerade, wie aber zeige ich das allgemein?

gerade? –> 3,5,7,11,13…

Oh, sorry, hab mich falsch ausgedrückt.. ;)
Die Primzahlen sind natuerlich ungerade (außer 2), aber die Anzahl der invertierbaren Elemente in Zp ist dann immer gerade, so war es gemeint, sorry.

Wie zeige ich das aber für alle Zahlen (nicht nur Primzahlen)?

*grübel*

Also wenn etwas "für alle n" gezeigt werden soll, fällt mir prinzipiell erst einmal Vollst. Induktion ein..
1. Ind.anfang: n = 3
U(Z_3) = {1,2}
|U(Z_3)| = 2 ist gerade

Tja, der Induktionsschritt.. hmm.. vielleicht kann man einbauen, dass U(Z_n) aus genau den Elementen besteht, die teilerfremd zu n (bzw. n+1) sind..

U(Z_n) = Z_n \ {x|x € Z_n: x ist kein Teiler von n in Z_n}

hmmmmmm… vielleicht ist das aber auch komplett Humbug..

mmh also ich würde das so angehen:
jedes element das invertierbar ist, ist entweder
- mit sich selbst invertierbar, oder
- mit genau einem anderen element invertierbar

wenn es mit einem anderen invertierbar ist, muss die anzahl ja gerade sein (weils ja immer 2 sind)
und wenn es mit sich selbst invertierbar ist, also n*n = 1, gilt auch immer -n * -n = 1, also auch genau 2 elemente…

ist aber nur ein ansatz…
man müsste u.a. noch beweisen, dass -n * -n = 1 und, dass n != -n wenn n * n = 1

EDIT:
(-n)*(-n) = (-1)*n*(-1)*n = (-1)*(-1)*n*n = 1*n*n = n*n = 1

und Angenommen -n = n und n * n = 1 => -n*n = n*n => -n*n = 1 => (-1)*n*n = 1 => n*n = -1 => n*n = g-1 (in Zg) => 1 = g-1 (weil n*n = 1) => g = 2. Daher auch die Voraussetzung g >= 3 ;)

(Alle Angaben ohne Gewähr o.ä.)

ich glaube das hatten wir schon einmal:

{1,-1} ist Untergruppe und hat Ordnung zwei, nach lagrange teilt die Ordnung jeder untergruppe die ordung der gruppe selbst…

ich glaube das hatten wir schon einmal:

{1,-1} ist Untergruppe und hat Ordnung zwei, nach lagrange teilt die Ordnung jeder untergruppe die ordung der gruppe selbst…

Ja, unter http://3773.rapidforum.com/topic=101579273668
stehts nochmal ausführlicher (inkl. Formel für |U(Z_n)|).