Unter der Nummer 12.27 im Analysis Skript von Herrn Günther steht "Beweis: Übung!". Leider konnte ich in den Übungszetteln keine entsprechende Aufgabe finden.

Hat vielleicht jemand einen Hinweis, wo der Beweis zu finden ist oder kann ihn jemand hier vorführen?

Die Behauptung in 12.27 lautet folgendermaßen:

(12.27) Behauptung: Sei [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5C,a%5Cin%5Cmathbb%7BR%5E*_+%7D,%20%20f:%5Cmathbb%7BR%7D%5Crightarrow%5Cmathbb%7BR%7D,%20f(x)%20:=%20%20ax%5En,%20n%5Cin%5Cmathbb%7BN%5E*%7D[/img]. Dann ist [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D%20f(x)=%5Cinfty[/img].

Danke. NaZo.

Die Ungleichung [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?ax_2%5En%3Eax_1%5En[/img] für
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?x_2%3Ex_1%3E0[/img] geht leicht mit vollständiger
Induktion nach n (die Monotonie von f geht natürlich
auch schöner durch Betrachtung der Ableitung, aber die
Aussage sieht mir aus, als ob sie vor der Differenzial-
rechnung drankommt).

Hier ist zu zeigen, dass es zu jedem y ein [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?x_0[/img]
gibt mit [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?f(x)%3Ey[/img] für alle [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?x%3Ex_0[/img].
(Ist dir klar, warum das hier zu zeigen ist?)

Ohne Einschränkung können wir y>0 voraussetzen (denn wenn
wir die Aussage für ein positives y beweisen, gilt sie
offensichtlich für negative y ebenfalls).

Wähle nun [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?x_0%3D%5Csqrt%5Bn%5D%7By%2Fa%7D[/img] (diese Zahl
ist auch reell wegen [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?a%2Cy%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%5E*_%2B[/img]).
Dann gilt für [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?x%3Ex_0[/img]:

[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?f(x)%3Dax%5En%3Eax_0%5En%3Da%5Cleft(%5Csqrt%5Bn%5D%7By%2Fa%7D%5Cright)%5En%3Dy[/img].

Ja, cool! Vielen Dank. So ähnlich hab ich es mir auch gedacht. [img]http://www.fb18.de/gfx/23.gif[/img]