Morgen,
ich habe von Gedächnissprotokoll Klausuren und bearbeitet sie.
Bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter:
Es sei A=(1,2,3,4,5) und B(u,v,w)
a)Wie viele injektive Abbildungen F: B -> A gibt es?
b Wie viele surjektive Abbildungen g: A -> B gibt es?
c) Wie viele bijektive Abbildungen h: A -> A gibt es, die höchstens einen Fixpunkt haben?

Ich habe diese Aufgaben versucht mit dem Grundaufgabe 5 zu lösen aber die Lösungen kriege ich nicht raus.
Die Lösungen sind a)60 b)150 c)89
Danke für die Hilfe im vorraus

Hy,

also zu a kann ich dir sagen, dass du die Anzahl der injektiven Abbildungen so bekommst:

5*4*3, denn das erste Element aus B hat 5 Möglichkeiten in A, das zweite Element aus B hat dann noch 4 Möglichkeiten (nicht mehr 5, da auf Grund der Injektivität kein Element 2 mal getroffen werden darf) und das dritte Element hat dann entsprechend noch 3 Möglichkeiten.

Die Anzahl der surjektiven Abb. bekommst du über die Stirling Zahlen, da hab ich die Formel aber nicht im Kopf.

Bijektive Abbildungen berechnet man normalerweise mit der Fakultät, hier also 5! = 120, allerdings muss man dann ja noch die rausrechnen, die mehr als 1 Fixpunkt haben, keine Ahnung..

Erstmal danke schön, weißt du vielleicht wo die diese Zahlen stehen in Biggs

c) Wie viele bijektive Abbildungen h: A -> A gibt es, die höchstens einen Fixpunkt haben?

das Problem mit den Fixpunkten löst man, wie schon bei den Permutationen erwähnt:
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%7B%7CA%7C%20%5Cchoose%20n%7D%20%5Ccdot%20d_%7B%7CA%7C-n%7D[/img]
wobei der 2. Faktor die Anzahl möglicher Derangements ist und n die Zahl der Fixpunkte(vgl. Biggs)
(jetzt musste nat. noch die Zahl der Abb ohne Fixpunkt addieren, also d_|A|)

Erst mal danke: Die Formel für unsere Aufgabe würde dann so aussehen : Die Mächtigkeit von A ist 5 und unserer n ist auch 5, d.h 5 über 5 * d die Mächtigkeit von A - 5 oder ihre ich mich

Erst mal danke: Die Formel für unsere Aufgabe würde dann so aussehen : Die Mächtigkeit von A ist 5 und unserer n ist auch 5, d.h 5 über 5 * d die Mächtigkeit von A - 5 oder ihre ich mich

leider ja: n gibt die Anzahl der Fixpunkte an, also Insgesamt:
|Abb. mit einen Fixpunkt|+|Abb. mit keinen Fixpunkt|=

[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%7B5%20%5Cchoose%201%7D%20%5Ccdot%20d_%7B5-1%7D%20+%20%7B5%20%5Cchoose%200%7D%20%5Ccdot%20d_%7B5-0%7D=5%5Ccdot%204!(%5Cfrac%7B1%7D%7B2!%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3!%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B4!%7D)+5%5Ccdot%205!(%5Cfrac%7B1%7D%7B2!%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3!%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B4!%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B5!%7D)=5%5Ccdot%209%20+%201%20%5Ccdot%2044=89[/img]

ok?

sorry, hab mich verschrieben, es muss an der entsprechenden Stelle
… + 1*5!(1/2+…
sein