Hoi,

habe hier folgende Aufgabe gefunden:

p sei Primzahl.

a) Bestimme |U(Z_p^3)|
b) Zeige, dass fuer alle p >= 2 gilt: |U(Z_n)| ist gerade.

Mir ist klar was Betragsstriche sind, auch was U(Z) ist und auch was eine Primzahl ist.. aber diese Kombination da oben versteh ich nicht *g*

Kann mir das mal jemand erklaeren?

THX!

Für a: Du nimmst eine Primzahl p, nimmst die hoch 3. Dann betrachtest du die Moduloklasse zu p^3 und bestimmst die Menge der dort invertierbaren Elemente.

z.B.
p wäre 2, dann 2^3 = 8, also die invertierbaren Elemente in Z_8. Nur dass du dies nicht für eine gewählte Zahl machen sollst, sondern für den allgemeinen Fall mit einem beliebigen p.

Hoi,
b) Zeige, dass fuer alle p >= 2 gilt: |U(Z_n)| ist gerade.

<Edit> HM, mir fällt gerade auf, dass hier wohl nicht n durch p,
sondern p durch n zu ersetzen ist. Denn die Aussage gilt für alle
n>2. Ich hab mich schon grewundert, dass ich garnciht gebraucht hab,
dass Z_p ein Körper ist [img]http://www.fb18.de/gfx/15.gif[/img]. Also nun die korrigierte Variante:
</Edit>

Ich nehme mal an, dass hier [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%7CU(%5Cmathbb%7BZ%7D_n)%7C[/img]
und n>2 gemeint ist. Das könnte man so machen:

Sei H die Gruppe [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?U(%5Cmathbb%7BZ%7D_n)[/img].
Wenn n>2, ist dieser Gruppe [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?1%5Cne%20-1[/img].
Also ist [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?G%3A%3D%5C%7B-1%2C%201%5C%7D%5Csubseteq%20H[/img]
eine Gruppe mit 2 Elementen, die Untergruppe von
H ist. Nach dem Satz von Lagrange teilt die Ordnung
von G die Ordnung von H, also ist die Ordnung von H
gerade.

Für n=2 stimmt die Aussage aber nicht. Denn
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cmathbb%7BZ%7D_2%3D%5C%7B0%2C%201%5C%7D[/img].

Oder alternativ:
Z_p ist ein Körper
=> alle Elemente ausser der 0 von Z_p sind invertierbar
=> |U(Z_p)| = |Z_p|-1 = p-1
=> |U(Z_p)| ist gerade (da p ungerade)

und wie macht man aufgabe a mit einem beliebigen p?

und wie macht man aufgabe a mit einem beliebigen p?

Der Beweis in meinem Posting ist doch für ein beliebiges p
(ich habs nur n genannt). Da wird nicht gebraucht, dass
n eine Primzahl ist.

Edit: Ups, du meintest ja Aufgabe a.

und wie macht man aufgabe a mit einem beliebigen p?

<Edit> Ich hab noch einen Fehler gefunden: die
Einheitengruppe von Z_n^3 ist natürlich nicht die
von Z_n. Ist jetzt korrigiert.
</Edit>

So, jetzt eine vernünftige Antwort. Tja, also mit beliebigem
p wird's etwas komplizierter. Ich nehme ab jetzt n, sonst
verwirrt mich das so mit dem p [img]http://www.fb18.de/gfx/10.gif[/img]. Man überlege sich zunächst,
dass U(Z_n^3) aus den Zahlen besteht, die zu n^3 teilerfremd sind.
Wir stellen nun n dar als Produkt von Primfaktoren:

[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?n%3Dp_1%5E%7B%5Cnu_1%7D%5Ccdots%20p_r%5E%7B%5Cnu_r%7D%2C[/img]
also
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?n%5E3%3Dp_1%5E%7B3%5Cnu_1%7D%5Ccdots%20p_r%5E%7B3%5Cnu_r%7D%2C[/img]


An dieser Stelle braucht man nun etwas Algebra, ich weiss nicht,
ob das in M1 drankommt: nach dem chinesischen Restsatz gilt dann:

[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cmathbb%7BZ%7D_%7Bn%5E3%7D%5Ccong%5Cbigoplus_%7Bi%3D1%7D%5Er%20%5Cmathbb%7BZ%7D_%7Bp_i%5E%7B3%5Cnu_i%7D.[/img]

und das liegt daran, dass jeweils [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?p_i%5E%7B%5Cnu_i%7D[/img]
und [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?p_j%5E%7B%5Cnu_j%7D[/img] teilerfremd sind für ungleiche i,j.

Ein Element in [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cmathbb%7BZ%7D_%7Bn%5E3%7D[/img] ist nun offenbar
genau dann invertierbar, wenn in allen Komponenten der rechten Seite
ein invertierbares Element steht (denn die Multiplikation geht
komponentenweise). Also

[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%7CU(%5Cmathbb%7BZ%7D_%7Bn%5E3%7D)%7C%3D%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5Er%20%7CU(%5Cmathbb%7BZ%7D_%7Bp_i%5E%7B3%5Cnu_i%7D%7D)%7C.[/img]

Wir müssen das Problem also nur noch für Primzahlpotenzen
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?p%5E%5Cnu[/img] lösen. Aber dort ist es auch recht einfach.
Denn die Zahlen x mit 1<=x<=[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?p%5E%5Cnu[/img], die zu
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?p%5E%5Cnu[/img] nicht teilerfremd sind, sind die, die zu p
nicht teilerfremd sind, also genau die durch p teilbaren Zahlen

p, 2p, 3p, …, [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?p%5E%7B%5Cnu-1%7Dp[/img],

insgesamt also [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?p%5E%7B%5Cnu-1%7D[/img] stück. Also ist die Zahl der
Zahlen zwischen 1 und [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?p%5E%5Cnu[/img], die zu [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?p%5E%7B%5Cnu%7D[/img] teilerfremd sind, gleich

[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?p%5E%5Cnu-p%5E%7B%5Cnu-1%7D%3Dp%5E%7B%5Cnu-1%7D(p-1)[/img].

Insgesamt gilt also

[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%7CU(%5Cmathbb%7BZ%7D_%7Bn%5E3%7D)%7C%3D%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5Er%20%7CU(%5Cmathbb%7BZ%7D_%7Bp_i%5E%7B3%5Cnu_i%7D%7D)%7C%3D%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5Er%20p_i%5E%7B3%5Cnu_i-1%7D(p_i-1).[/img]

Ich hoffe, ich habe mich nicht vertan [img]http://www.fb18.de/gfx/10.gif[/img]

An dieser Stelle braucht man nun etwas Algebra, ich weiss nicht,
ob das in M1 drankommt: nach dem chinesischen Restsatz gilt dann:

*prust*, Du bist gut!

Ne, ich glaub, man soll sich wirklich auf Primzahlen beschränken. Dann berechnet man erstmal |U(Z_p)| = p-1 (@Anonymie: warum ist das so?) und dann daraus |U(Z_p^3)|.

Dazu überlegt man sich, dass die Elemente eines Produkts von Gruppen (und sowas haben wir hier ja) genau dann invertierbar sind, wenn alle Komponenten invertierbar sind. Und das sind dann (p-1)^3 Elemente.

An dieser Stelle braucht man nun etwas Algebra, ich weiss nicht,
ob das in M1 drankommt: nach dem chinesischen Restsatz gilt dann:

*prust*, Du bist gut!

Ich wusste nicht mehr genau, ob wir das Günther hatten,
denn da war schon einiges über Gruppen dran.
Aber jetz hab ich mal im Skript nachgesehen: er war anscheinend
nicht dran.

Dazu überlegt man sich, dass die Elemente eines Produkts von Gruppen (und sowas haben wir hier ja) genau dann invertierbar sind, wenn alle Komponenten invertierbar sind. Und das sind dann (p-1)^3 Elemente.

Hmm. Also ich denke, das Argument mit dem Produkt von Gruppen
geht an dieser Stelle nicht, weil man dazu braucht, dass die
einzelnen Faktoren teilerfremd sind. (BTW: du hast gerade selbst
den chinesischen Restsatz angewendet [img]http://www.fb18.de/gfx/10.gif[/img]). p, p und p sind aber
nicht teilerfremd. Stattdessen zählt man erstmal die zu p^3 nicht
teilerfremden, also die durch p teilbaren, das sind:
p, 2p, …, p^2p,
also p^2 stück. Die zu p^3 teilerfremden sind also
p^3-p^2=p^2(p-1).
Folglich |U(Z_p^3)|=p^2(p-1)

Und eigentlich lässt sich das auch an der letzten Formel oben
ablesen (es ist halt [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?r%3D%5Cnu_1%3D1[/img]).

Moment mal, ich glaube wir reden hier vollkommen aneinander
vorbei. Ich spreche die ganze Zeit von
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cmathbb%7BZ%7D_%7Bn%5E3%7D[/img], während das, was du sagst,
natürlich stimmt für [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cmathbb%7BZ%7D%5E3_n[/img]!

Falls tatsächlich [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cmathbb%7BZ%7D_n%5E3[/img] gemeint ist,
kann man das, was ich oben geschrieben habe, leicht abwandeln,
um eine Formel für [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%7CU(%5Cmathbb%7BZ%7D%5E3_n)%7C[/img] zu bekommen.