hi, hab grad etwas schwierigkeiten mit aufg. 17.2:

dieses gebilde da ist doch definiert als duales system von s_i kreuz f von der anderen basis (19.28)

das duale system ist mit dem kroneker symbol definiert (19.21)

also kann doch die resultierende matrix nur 0 oder 1 enthalten oder?!?
wie soll jemals A rauskommen?

ich hab nun
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?(e_i%5E%7B(m)%7D)%5E*%20(X)[/img]
mit x:= j'te spalte von a,

aber egal was drin steht in X, es wird aufgrund des dualen systems doch nur ein! element aks K (0v1) rauskommen.

hmpf!
pazz

hi, hab grad etwas schwierigkeiten mit aufg. 17.2:

dieses gebilde da ist doch definiert als duales system von s_i kreuz f von der anderen basis (19.28)

das duale system ist mit dem kroneker symbol definiert (19.21)

Zur Vermeidung von Verwirrung: Das, was in dem Skript "duales
System" genannt wird, ist in anderer Literatur als "duale
Basis" bekannt (hab neulich mal ins M3-Skript geguckt,
deswegen weiss ich's zufällig).

also kann doch die resultierende matrix nur 0 oder 1 enthalten oder?!?

Hier muss man beachten, dass die duale Basis eine Familie von
linearen Abbildungen (vom Vektorraum in den Körper) ist. Die
Definition beschränkt sich daher darauf, was die Abbildung auf
Basiselementen "tut". Wenn man das nämlich für lineare
Abbildungen definiert, ergibt sich alles andere automatisch.
Das kommt daher, dass jeder Vektor, den man einsetzen kann, ja darstellbar ist als Linearkombination von Basiselementen.

Jetzt konkret: Die duale Basis gehört immer zu einer bereits
vorhandenen. Wenn also [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?(v_1%2C%20%5Cldots%2C%20v_n)[/img] eine
Basis ist, gilt:
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?v%5E*_i(v_j)%3D%5Cdelta_%7Bi%2Cj%7D.[/img]
(wobei [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cdelta_%7Bi%2Cj%7D[/img] das Kroneckersymbol ist).
Wenn nun X ein Vektor ist, so lässt er sich aber als
Linearkombination von Basiselementen schreiben (das ist die
Definition der Basis):

[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?X%3D%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5En%20%5Calpha_j%20v_j.[/img]

(mit [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Calpha_j%5Cin%20K[/img]).

Und hier kommt der Trick: Wenn man nun ein Element
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?v%5E*_i[/img] der dualen Basis auf X anwendet,
so kommt [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Calpha_i[/img] heraus, denn:

[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?v%5E*_i(X)%3Dv%5E*_i(%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5En%20%5Calpha_jv_j)%3D%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5En%20%5Calpha_j%20v%5E*_i(v_j)%3D%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5En%20%5Calpha_j%5Cdelta_%7Bi%2Cj%7D%3D%5Calpha_i%2C[/img]
denn nur in dem Summanden, wo i=j ist, wird
[img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cdelta_%7Bi%2Cj%7D%3D1[/img], sonst ist es 0.

aber egal was drin steht in X, es wird aufgrund des dualen systems doch nur ein! element aks K (0v1) rauskommen.

Wie gesagt: nur auf den Basiselementen kommt 0 oder 1 raus.Insgesamt, angewendet auf eine Linearkombination bezüglich der zugehörigen Basis, erhält man die Koeffizienten bezüglich dieser Basis.