Frage: Ist mein Beweis zu Ü-Aufgabe 1 korrekt?
(
http://www.triphoenix.de/M1/blatt5.pdf)
f^-1 := Umkehrfunktion ("f hoch minus 1")
Beh.: f(f^-1(B')) C B'
(eigentlich "echte Teilmenge")
Bew.:
Zu zeigen ist:
Für alle x € f(f^-1(B')) gilt (x € f(f^-1(B')) ==> x € B').
Sei A':= f^-1(B') und sei x € f(f^-1(B')). Dann folgt mit der Definition der Umkehrfunktion: f(A'):={a aus A: es gibt ein b aus B' mit f(a)=b}, dass x in f(A') ist, welches aus denjenigen b aus B besteht, für die es ein a aus A' gibt mit f(a)=b. Also folgt, x ist in B'.
Ist das so korrekt, oder habe ich irgendwo was vergessen / falsch gemacht?
Danke für Eure Hilfen!
- Lisa L.
das ist ja irgendwie durcheinander geraten
Sei A':= f^-1(B') und sei x € f(f^-1(B')).
also x e f(A')
Dann folgt mit der Definition der Umkehrfunktion:
f(A'):={a aus A: es gibt ein b aus B' mit f(a)=b}
wohl eher:
A'={a aus A: es gibt ein b aus B' mit f(a)=b}
dass x in f(A') ist
das folgt schon daraus wie du A' definiert hast (A'= f^-1(B')), das must du nicht beweisen
welches aus denjenigen b aus B besteht, für die es ein a aus A' gibt mit f(a)=b. Also folgt, x ist in B'.
der wichtige Fehler:
aus der Definition von A' kannst du eigentlich nicht direkt schließen,
dass f(A') aus Elementen aus B besteht, das sollst du ja gerade beweisen,
wenn ich mich nicht irre so wie weiter unten
(naja, ist ja irgendwie offensichtlich ;) )
———-
Sei A':= f^-1(B')
aus der Definition der Umkehrfunktion folgt: A'={a aus A: es gibt ein b aus B' mit f(a)=b}
für x e f(A') existiert damit ein a e A' mit f(a) e B',
da f eindeutig ist, gilt x = f(a) e B',
also x e B'
hehe.. danke slater.. irgendwie verwirrt mich dieser aufgabentyp auch… komme da schnell durcheinander. anschaulich ist das meistens klar.. aber formal verdaddel ich das immer! weiss jemand, wo´s mehr von solchen aufgaben gibt? die paar sätze im skript sind irgendwie zu wenig… (die klausur kommt! *bibber*)
Ebenfalls zu Blatt 5:
f: A -> B, g: B -> C
Beh. (gof) ist injektiv => f ist injektiv
Bew.:
Seien x,y aus A und x ungleich y. Zu zeigen ist:
x ungleich y => (gof)(x) ungleich (gof)(y)
(gof)(x) ungleich (gof)(y) = g(f(x)) ungleich g(f(y))
Angenommen, f ist nicht injektiv. Dann gibt es ein b aus B mit f(x)=b und f(y)=b. Dann gibt es auch ein c aus C mit g(b)=c. Also:
x ungleich y => g(f(x)) = g(f(y) = b). Widerspruch zu (gof) ist injektiv.
Kann man das so beweisen? Danke!
Ebenfalls zu Blatt 5:
f: A -> B, g: B -> C
Beh. (gof) ist injektiv => f ist injektiv
Bew.:
Seien x,y aus A und x ungleich y. Zu zeigen ist:
x ungleich y => (gof)(x) ungleich (gof)(y)
Zu zeigen ist eigentlich f(x) ungleich f(y) und nicht die Implikation "x ungleich y => (gof)(x) ungleich (gof)(y)", denn die gilt ja bereits nach Voraussetzung.
Aber das tust du ja hinterher auch.
(gof)(x) ungleich (gof)(y) = g(f(x)) ungleich g(f(y))
Hier meintest du wohl <=> statt = oder?
Angenommen, f ist nicht injektiv. Dann gibt es ein b aus B mit f(x)=b und f(y)=b.
An dieser Stelle ist ein etwas subtiler Fehler versteckt:
x und y sind in dem Moment bereits gewählt mit der einzigen Einschränkung, dass x ungleich y. Wenn f nun nicht injektiv ist, heisst das nicht unbedingt, dass genau _diese_ x,y die Injektivität verletzen (eine Funktion ist bereits nicht injektiv, wenn sie nur für ein Bildelement zwei Urbilder hat, ansonsten aber umkehrbar eindeutig ist). Richtig wäre gewesen: Wenn f nicht injektiv ist, _gibt_es_ x und y so, dass x ungleich y und f(x)=f(y).
Ab der Stelle kann aber dein Beweis so weitergehen:
Dann gibt es auch ein c aus C mit g(b)=c. Also:
x ungleich y => g(f(x)) = g(f(y) = b). Widerspruch zu (gof) ist injektiv.
Hier muss noch "g(f(x)) = g(f(y) = b)" ersetzt werden durch
"g(f(x))=g(f(y))=g(b)".
Aber ansonsten kann man das so machen.
Aber bitte keine Komplettloesungen mehr zu Blaettern die noch abzugeben sind [img]
http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img]
öhm ok.. dachte in M1 sei das egal.. macht da irgendein verrückter den schein? ;-) beweisen kann man eben nicht einfach so lernen.. ausschlaggebend ist die beweisidee.. und manchmal bin ich mir unsicher, ob ich das alles auch formal korrekt mache..
Frage zum Hyperwürfel:
Wie soll ich denn Q_4 zeichnen, ohne dass ich wahnsinnig werde? *g*
einen großen 3D-Würfel, in dem ein kleiner 3D-Würfel ist und diese noch geeignet verbinden ist imho die beste Möglichkeit, es übersichtlich zu machen [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]
Ob´s reicht, wenn ich das Prinzip verstehe? Ich studier ja schliesslich nicht Architektur [img]
http://www.fb18.de/gfx/24.gif[/img]
Oder 2 3d-Würfel nebeneinander und die dann verbinden. Es muss nicht perspektivisch korrekt sein!
Oder 2 3d-Würfel nebeneinander und die dann verbinden. Es muss nicht perspektivisch korrekt sein!
hmm, wie geht denn perspektivisch korrekt bei einer 4D Struktur auf 2D Papier?
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Aber wie gesagt, es geht hier um Graphen, da ist die räumliche Anordnung der Punkte vollkommen irrelevant, Hauptsache
- die Punkte sind richtig beschriftet
- die richtigen Punkte sind miteinander verbunden.
Achja, nochwas: Mal das ganze nicht in Kästchengrösse, das verbessert die Übersichtlichkeit enorm [img]
http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img]
