Hi!
Wie widerlege ich formal(!) die Injektivität und Surjektivität folgender Funktion:
f:Z->Z
f(x)=x²
Wie beweise ich formal(!) die Injektivität und Surjektivität folgender Funktion:
f:Z->Z
f(x)=x+2
Danke im Vorraus!
Edit: Nächstes Mal bitte einen Aussagekräftigen Titel nehmen. "M1" ist dann doch etwas allgemein. Da kommt noch etwas mehr dran. [img]
http://www.fb18.de/gfx/17.gif[/img]
1. Gegenbeispiel
2. Induktion
Google mal ein bischen nach beweisideen oder so. Es sollte ein paar seiten geben die hinweise liefern wie man eine Menge der M1 Aufgaben lösen kann.
Bei Z ist Induktion nicht so ganz das ideale…
Wie wärs mit dem formalen Beweis aus dem Skript?
Annahme, dass f(x) = f(x') ist, dann muss gelten…
schließlich => x=x' (Injektivität)
könnte es denn mal jemand netterweise anhand dieser Beispiele konkret richtig vorführen?
Bei Z ist Induktion nicht so ganz das ideale…
Aber sischer doch. Muss man halt nur in beide Richtungen machen [img]
http://www.fb18.de/gfx/15.gif[/img] (würd ich bei der Aufgabe aber auch nicht machen…)
Hi!
Wie widerlege ich formal(!) die Injektivität und Surjektivität folgender Funktion:
f:Z->Z
f(x)=x²
Injektität:
Diese würde einfach mit einem Widerspruchsbeweis machen. Angenommen f ist injektiv genau dann wenn:
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?$%5Cforall%20a1,a2%20%5Cin%20Z%20(f(a_1)%20=%20f(a_2)%20%5CRightarrow%20a_1%20=%20a_2%20)$%20[/img]
Jetzt müssen wir nur noch ein
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?a_1[/img] und ein
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?a_2[/img] finden für die dieses nicht gilt um den Widerspruch zu zeigen. Wir nehmen einfach mal -1 und ein 1. f(-1)=1=f(1) nun folgt nach Annahme -1 = 1. Hier haben wir also einen Widerspruch. Es gilt also f ist nicht injektiv.
Das es nicht surjektiv ist könnte man auch über einen Widerspruch zeigen in dem man sich einfach ein Element aus der Bildmenge(Z) z.b. -1 nimmt und zeigt, das es hierfür kein Element aus der x aus der Definitionsmenge gibt, sodass gilt f(x)=-1.
Wie beweise ich formal(!) die Injektivität und Surjektivität folgender Funktion:
f:Z->Z
f(x)=x+2
Injektivität:
Angenommen f(a) = f(b), a,b beliebig aus Z, so folgt nach Definition der Funktion f a+2=b+2, somit folgt a=b.
Da a und b beliebig gewählt f injektiv.
Surjektivität:
Wir nehmen uns ein beliebiges Element y aus dem Wertebereich von f. Nun müssen wir nur noch zeigen, dass es zu diesem beliebigen y ein x aus Z gibt, sodass f(x)=y also 2x = y. Hier wählen wir geschickter weise x = y/2 und schon haben wir für jedes y ein passendes Z.
Surjektivität:
Wir nehmen uns ein beliebiges Element y aus dem Wertebereich von f. Nun müssen wir nur noch zeigen, dass es zu diesem beliebigen y ein x aus Z gibt, sodass f(x)=y also 2x = y. Hier wählen wir geschickter weise x = y/2 und schon haben wir für jedes y ein passendes Z.
y/2 element Z für alle y element Z?
sonst gehts gut was? ;)
aber ist ja auch y-2 gefragt und nicht y/2, das sollte in Z sein für alle y element Z
