M2-Frage zur Potenzreihe
2004-04-18 19:10
Anonymer User
Kann mir jemand erklären was eine Potenzreihe und Taylorreihe sind.
M2-Frage zur Potenzreihe
Re: M2-Frage zur Potenzreihe
2004-04-18 19:24
Popcorn
Eine Potenzreihe ist einfach ein unendliches Analogon zu einen Polynom. Das ganze hat die Form:
Summe(n=0 bis unendlich) anxn.
Also ein bis in alle Ewigkeit gesponnenes Polynom. Somit kannst Du also jedes x-beliebige Polynom darstellen und lässt (wenn das Polynom zuendende ist) einfach die Koeffizienten null sein. Hmm. War das Verständlich? :)
Eine Taylorreihe ist die bestmögliche Approximation einer gegebenen Funktion (sofern man die Funktion selbst nicht als Approximation ansieht, :P @ Zaphod). Das Ding sieht so aus:
Summe(n = 0 bis unendlich) [fn(x0)/n!]*(x-x0)n
Dankbarerweise dürfen wir meistenns von x0 = 0 ausgehen. Damit wäre es dann:
Summe(n = 0 bis unendlich) [fn(0)/n!]*xn
Wobei fn nicht f hoch n, sondern halt die n-te Ableitung der Funktion f ist.
Vorgehen also: Die Funktion für eine gewünschte Anzahl von n's Ableiten, x0 einsetzen und die Reihe ausrechnen. Hier z. B. bei sin(0) aufpassen. Das Glied fällt dann halt komplett weg.
Hoffe von Hilfe gewesen zu sein.
Summe(n=0 bis unendlich) anxn.
Also ein bis in alle Ewigkeit gesponnenes Polynom. Somit kannst Du also jedes x-beliebige Polynom darstellen und lässt (wenn das Polynom zuendende ist) einfach die Koeffizienten null sein. Hmm. War das Verständlich? :)
Eine Taylorreihe ist die bestmögliche Approximation einer gegebenen Funktion (sofern man die Funktion selbst nicht als Approximation ansieht, :P @ Zaphod). Das Ding sieht so aus:
Summe(n = 0 bis unendlich) [fn(x0)/n!]*(x-x0)n
Dankbarerweise dürfen wir meistenns von x0 = 0 ausgehen. Damit wäre es dann:
Summe(n = 0 bis unendlich) [fn(0)/n!]*xn
Wobei fn nicht f hoch n, sondern halt die n-te Ableitung der Funktion f ist.
Vorgehen also: Die Funktion für eine gewünschte Anzahl von n's Ableiten, x0 einsetzen und die Reihe ausrechnen. Hier z. B. bei sin(0) aufpassen. Das Glied fällt dann halt komplett weg.
Hoffe von Hilfe gewesen zu sein.
Re: M2-Frage zur Potenzreihe
2004-04-18 21:35
Felix
Also ein bis in alle Ewigkeit gesponnenes Polynom. Somit kannst Du also jedes x-beliebige Polynom darstellen und lässt (wenn das Polynom zuendende ist) einfach die Koeffizienten null sein. Hmm. War das Verständlich? :)wobei es natürlich auch Potenzreihen gibt für die nicht alle Koeffizienten ab einem bestimmten Punkt gleich Null sind. @Björn: Hast du wahrscheinlich auch so gemeint, war nur nicht ganz eindeutig ausgedrückt imho [img]http://www.fb18.de/gfx/24.gif[/img]
