Hallo.
Wie kann ich denn den Eigenraum zu einer Eigenwertaufgabe angeben, nachdem ich die Eigenwerte und -vektoren berechnet habe?
Die Eigenvektoren müsstest du in Abhängigkeit einer der Komponenten des Vektors angeben.
Also z.B. x1=-x2.
Dann hast du einen eindimensionalen Eigenvektorraum mit
{(1,-1)lambda|lambda in K}.
Man könnte auch sagen, der Eigenvektorraum sei der Lösungsraum der homogenen Gleichung (f-IDlamda)(v)=0.
So ganz klar ist es mir auch nicht, da ich mich zu dem Zeitpunkt mit meinen beiden Jura Prüfungen beschäftigt hatte. Lösungen habe ich auch keine. Nur den Jänich mit schön abstrakten Beispielen. *hmpf* Mag mir mal wer über die Schulter gucken und sagen, ob diese simple Aufgabe so richtig ist und wie am Ende daraus der Eigenraum zu erkennen ist?
Blatt 11 - B1
Man berechene Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenräume.
2te Aufgabe)
(0 1) ==> (0-L 1 ) ==> det = L²-1 ==> L1 = 1; L2 = -1
(1 0) ==> (1 0-L)
(-1 1) ==> -x1 + x2 = 0 ==> x1 = x2 ==> x1 = x2 = t
(1 -1)
==> L1 = 1 : x = t * (1;1)
(1 1) ==> x1 + x2 = 0 ==> x1 = -x2 ==> x1 = -t; x2 = t
(1 1)
==> L2 = -1 : x = t * (-1;1)
So weit glaube ich das ja noch geschnallt zu haben. Hoffe ich mal. Aber das mit dem Eigenraum? Wird das jetzt einfach geometrich interpretiert? Obwohl ich das so einfach auch nicht fände.
also das mit den t's bei Dir versteh ich im Moment nicht so ganz, hab jetzt aber auch nicht in das Buch rein geschaut.
Wenn man die LGSe auflöst, erhält man ja Lösungsräume mit einer bestimmten Dimension, das sind die Eigenräume zu den jeweiligen Eigenwerten. Bei lambda_1 hast Du ja gelöst x1 = x2, damit hast du einen Lösungsraum gefunden: nämlich mü*(1,1), wobei mü Element K ist. (1,1) ist eine Basis des Eigenraums, man hätte aber auch jedes andere Tupel nehmen können, bei dem x1 = x2 gilt.
Für lambda_2 geht das genauso:
Du bekommst x1 = -x2, also ist (1,-1) eine Basis vom Eigenraum E_2 zu lambda_2, maW: E_2 = { mü * (1,-1) | mü Element K }
ps. man bekommt übrigens immer einen LösungsRAUM bei den LGS zu den Eigenwerten, da man ja vorher die Determinante "ausmultipliziert" hat (also das charakteristische Polynom errechnet), und dieses P = 0 gesetzt hat.
MaW die Determinante ist null, das LGS also nicht eindeutig lösbar => Dimension > 0.
Deshalb kann man z.B. bei 2x2-Matrizen die 2. Zeile des LGS weglassen, da diese eh linear abhängig ist.
Also die Rechnung sieht richtig aus. Die Eigenraeume hast Du jetzt praktisch auch schon, das sind die von [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D1%5C%5C1%5Cend%7Barray%7D%5Cright)[/img] und [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D-1%5C%5C1%5Cend%7Barray%7D%5Cright)[/img] aufgespannten Untervektorraeume. Geometrisch sind das dann 2 Geraden.
<edit>Ah, da war mal wieder wer schneller :)</edit>
Danke, dann schein ich so weit ja schon richtig zu liegen. Aber eines irritiert mich bei FireTiger und jetzt auch Felix:
Du bekommst x1 = -x2, also ist (1,-1) eine Basis vom Eigenraum E_2 zu lambda_2, maW: E_2 = { mü * (1,-1) | mü Element K }
Wenn x1 = -x2 ist, wieso steht dann bei Euch in der Klammer vorne 1 und nicht -1? Die Reihenfolge ist doch nicht egal?
Wenn x1 = -x2 ist, wieso steht dann bei Euch in der Klammer vorne 1 und nicht -1? Die Reihenfolge ist doch nicht egal?
doch, denn die Basen (-1,1) und (1,-1) erzeugen den gleichen Raum, denn -1*(-1,1) = 1* (1,-1), und da -1 und 1 Element K sind, ist der Raum wohl der gleiche [img]
http://www.fb18.de/gfx/17.gif[/img]. Man könnte in diesem Fall jedes Tupel als Basis angeben, bei dem x1 = -x2 gilt, also auch (2,-2), (-5,5) usw.
Hmm. Und wieder einmal bewiesen, wie langsam ich in Mathe bin. *InDieEckeGehtUndSichSchämt* [img]
http://www.fb18.de/gfx/19.gif[/img]
<nitpick>
ps. man bekommt übrigens immer einen LösungsRAUM bei den LGS zu den Eigenwerten,
der Nullraum ist kein Raum?
Deshalb kann man z.B. bei 2x2-Matrizen die 2. Zeile des LGS weglassen, da diese eh linear abhängig ist.
Nehmen wir mal [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D1%260%5C%5C1%261%5Cend%7Barray%7D%5Cright)[/img]
Der einzige Eigenwert ist 1, der Eigenraum ist also der Loesungsraum des durch [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D0%260%5C%5C1%260%5Cend%7Barray%7D%5Cright)[/img] beschriebenen homogenen LGS. Wenn man da die letzte Zeile weglaesst, erhaelt man einen 2-dimensionalen Eigenraum, richtig ist aber ein 1-dimensionaler.
</nitpick>
der Nullraum ist kein Raum?
dagegen habe ich doch garnichts gesagt, ich meinte dass die Lösung nie eindeutig ist. Das schliesst dann auch den Nullraum aus, trotzdem ist die Lösung immer ein (von Null verschiedener) Raum.
Nehmen wir mal [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D1%260%5C%5C1%261%5Cend%7Barray%7D%5Cright)[/img]
Der einzige Eigenwert ist 1, der Eigenraum ist also der Loesungsraum des durch [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D0%260%5C%5C1%260%5Cend%7Barray%7D%5Cright)[/img] beschriebenen homogenen LGS. Wenn man da die letzte Zeile weglaesst, erhaelt man einen 2-dimensionalen Eigenraum, richtig ist aber ein 1-dimensionaler.
</nitpick>
na gut, an den Fall habe ich natürlich nicht gedacht - man muss natürlich "Nullzeilen" weglassen, ansonsten stehe ich aber zu meiner Behauptung [img]
http://www.fb18.de/gfx/25.gif[/img]
(Disclaimer: alle Angaben natürlich wie immer ohne Gewähr)
der Nullraum ist kein Raum?
dagegen habe ich doch garnichts gesagt, ich meinte dass die Lösung nie eindeutig ist. Das schliesst dann auch den Nullraum aus, trotzdem ist die Lösung immer ein (von Null verschiedener) Raum.
Achso, dann hatte ich das nur falsch verstanden.
Zur geometrischen Deutung nochmal was:
Bei einem eindimensionalen Eigenraum, kann man sich das so Vorstellen, dass alle Vektoren, die auf einer bestimmten Gerade liegen (d.h. im Eigenraum…) eben wieder auf diese Gerade abgebildet werden.
Hi,
hmpf. Ich schien das ja schon mal ein wenig verstanden zu haben… Na ja. Vor zwei Monaten. [img]
http://www.fb18.de/gfx/21.gif[/img]Hat noch wer die Lösung vom M3 Aufgabenblatt 11 zur ersten Präsenzaufgabe rumfliegen
und kann mal gucken, ob
Charakteristisches Polynom: L² - 2L + 5
Eigenwerte: 1+2i und 1-2i
Eigenvektoren: (0,0)
==> Es existiert kein Eigenraum
das richtig ist?
Bestimme das charakteristische Polynom sowie sämtliche Eigenwert und Eigenvektoren
für die Matrix B = (1 -2)
(2 1)
a) für K = R
Eigenwert:
(1 -2) => (1-L -2)
(2 1) ( 2 1-L)
Ax = Lx => AX - Lx = 0 => (A - LE)x = 0
Zu lösen: det(1-L -2) = 0
( 2 1-L)
(1 -2) => (1-L -2) => (1-L)*(1-L)-(2*-2) => L² - 2L + 5
(2 1) (2 1-L)
Charakteristisches Polynom: L² - 2L + 5
Nullstellen:
n1/n2 = -(-2/2) +/- Wurzel[(-2/2)² - 5] => 1 +/- Wurzel[-4]
==> Nullstellen sind nicht Element R
b) für K = C
n1 / n2 = 1 +/- 2i <-- Eigenwerte
Eigenvektoren:
i) n1 = 1 + 2i
Ax - (1+2i)x = 0 => (A - (1+2i)E)x = 0
(1-(1+2i) -2 ) = 0 => (2i -2) = 0
( 2 1-(1+2i)) = 0 (2 2i) = 0
2ix1 - 2x2 = 0 => ix1 - x2 = 0 => ix1 = x2
2x1 + 2ix2 = 0
2ix1 - 2x2 = 0 => ix1 - x2 = 0 => ix1 = x2
==> x1 = x2 = 0
L1 = 1 + 2i: x = t*(0;0)
ii) n2 = 1 - 2i
(1-(1-2i) -2 ) = 0 => (-2i -2) = 0
( 2 1-(1-2i)) = 0 (2 -2i) = 0
-2ix1 - 2x2 = 0 => -ix1 - x2 = 0 => -ix1 = x2
2x1 + -2ix2 = 0
==> x1 = x2 = 0
L2 = 1 + 2i: x = t*(0;0)
Um nochmal auf deinen Rechenweg einzugehen..
den entscheidenden Fehler machst du an dieser Stelle
2ix1 - 2x2 = 0 => ix1 - x2 = 0 => ix1 = x2
==> x1 = x2 = 0
Wie du auf diese Folgerung kommst versteh ich nicht, denn vorher hattest du ja quasi schon die Lösung, nämlich dass x2 das "-i"-fache von x1 ist, also z.B. (1,-i).
Alle Vielfachen davon erfüllen dann auch diese Bedingung, z.B. (2,-2i). Irgendeinen beliebigen Vektor davon kannst du dann als Basis für den Eigenraum nehmen, der Einfachheit halber nimmt man wohl am ehesten (1,-i)
Eigenvektoren: (0,0)
ach ja, noch als Tipp:
wenn Andreae nach Eigenvektoren fragt, besser nicht den Nullvektor angeben, da dieser definitionsgemäss kein Eigenvektor sein kann (wär ja auch langweilig, da dann ja alle lambda aus K Eigenwerte wären [img]
http://www.fb18.de/gfx/25.gif[/img])
Hmm. Hmm. Okay. Jetzt habe ich's auch. Ich war etwas unsicher gewesen, wie ich das = beim = zwischen Imaginärteil und Realteil zu deuten habe. Also wenn -ix = y2 ist, dann habe ich hier halt einmal die Realteile verglichen (bei x = 0, also habe ich ihn bei y null gesetzt und dann das gleich noch mal beim Imaginärteil.) Aber gut, ist ja eigentlich auch logsicher so. Danke. [img]
http://www.fb18.de/gfx/23.gif[/img]
Das Problem kenn ich, komplexe Zahlen sind halt nicht besonders intuitiv, aber mir hat immer die Merkregel geholfen
"ganz normal ausmultiplizieren und bedenken dass i*i=-1 ist" [img]
http://www.fb18.de/gfx/17.gif[/img]
Noch mal zum Thema "Eigen". Im buch sehe ich ja Definitionen zum Eigenraum und zum Eigenvektor. Aber direkt zum Eigenwert nichts. Derzeit würde ich ihm wenn er sagt "Definieren sie mal Eigenwert" aufschreiben:
Sei V ein Vektorraum über K und f: V -> V ein Endomorphismus. Unter einem Eigenvektor von f zum Eigenwert L e K versteht man einen Vektor v != 0 aus V mit der Eigenschaft f(v) = Lv.
Könnte ich das dann einfach nach:
Sei V ein Vektorraum über K und f: V -> V ein Endomorphismus. Unter einem Eigenwert zum Eigenvektor v != 0 von f versteht man ein Skalar L e K mit der Eigenschaft f(v) = Lv.
?
Unter einem Eigenwert zum Eigenvektor v != 0 von f versteht man ein Skalar L e K mit der Eigenschaft f(v) = Lv.
Hmm, ne. Du hast erst die Eigenwerte, dann die Eigenvektoren. Von daher passt die Formulierung "Eigenwert zum Eigenvektor" nicht. Ich würde sagen
"Ein Eigenwert ist ein Skalar, zu dem es Eigenvektoren (!=0) gibt"
oder etwas formeller
"Ein Eigenwert ist ein Skalar L e K, zu dem es ein v e V, v != 0 gibt mit f(v) = Lv"
"Ein Eigenwert ist ein Skalar L e K, zu dem es ein v e V, v != 0 gibt mit f(v) = Lv"
Sehr cool, den nehme ich doch. Danke.
Irgendwie komme ich beim Auswendiglernen dieser paar albernen Definitionen nicht weiter. Drum versuche ich das jetzt doch irgendwie zu verstehehen. Dabei fragte ich mich, ob:
Eigenvektor: Unter einem Eigenvektor von f zum Eigenwert L e K versteht man einen Vektor v != 0 aus V mit der Eigenschaft f(v) = Lv.
Eigenvektor: Ein Vektor v e V\0 ist genau dann Eigenvektor von f: V -> V zum Eigenwert L e K, wenn v e Kern(f-LId) ist.
Nicht genau das gleiche sagen. Gut, beim ersten fehlt gerade die Definition von f aus dem Satz davor, aber v != 0 aus V und v e V\0 sind das gleiche und, was jetzt meine eigentliche Frage ist, der Schluss ist doch auch nur umgeformt, oder?
L = Lambda, E = Einheitsmatrix
v e Kern(f - LId)
(f - LE)v = 0
f(v) - Lv = 0
f(v) = Lv
So hatte ich mir das zumindest in etwa gedacht.
Ja genau, die Aussagen sind äquivalent, die Umformung stimmt auch (nur die Biimplikationspfeile fehlen [img]
http://www.fb18.de/gfx/25.gif[/img]). Der 2. Satz ist für das Verständnis des Verfahrens allerdings viel hilfreicher imho.
Na wenigstens etwas. %) Und dann noch eine Frage zur Vielfachheit: Die geometrische Vielfachheit ist doch einfach der Rang der Matrix, wenn man jeweils die Eigenwerte in der diagonalen abgezogen hat? Und die algebraische ist doch immer geleich der Anzahl der Zeilen?
Die geometrische V. von einem Eigenwert ist die Dimension des Kerns der Matrix, wenn man den Eigenwert in der Hauptdiagonalen abgezogen hat. Nach der Dimensionsformel ist also geom. V. = n - Rang.
Die algebraische V. ist die Vielfachheit der Nullstelle (Eigenwert). Manche Nullstellen können ja mehrfach vorkommen, z.B. bei einem Polynom P = (x^2 - 2*x + 1) ist 1 die einzige Nullstelle, aber sie "kommt 2 Mal vor", da P = (1-x)*(1-x) = (1-x)^2 ist.
Ja wunderbar, das zweite Verstehe ich dann doch auch gleich richtig. So hatte ich mir das eigentlich auch gedacht. Thx.
