ich habe ja schon in dem anderen Thread gelesen, dass sich auch andere mit Differentialgleichungen beschäftigen. Ich poste hier mal ein paar Lösungen, vielleicht kann sie mir ja Jemand bestätigen oder sagen was falsch ist.
1.
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?y''%20-%20y'%20-%20y%20%3D%20x[/img]
Als Lösung erhalte ich:
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?y(x)%3Dc_1e%5E%7B(%5Csqrt%7B2%7D%2B1)x%7D%2Bc_2e%5E%7B(1-%5Csqrt%7B2%7D)x%7D%2B(1-x)[/img]
Bei 3. hab ich was ganz anderes raus. Hab die methode der getrennten Veränderlichen angewandt und erhalte:
f(x)=sqrt[2x²+2c]
Oder hab ich falsch gedacht???
Bei 1. hab ich andere Exponenten…mein charakteristisches Polynom lautet: lamba²-lambda-1=0
lambda1= 0,5+ 0,5*sqrt(5) und
lamba2=0,5-0,5*sqrt(5)
Was sagst du?
Oh bei 1. ist mir ein Fehler unterlaufen:
Also bei 1. hast du mit deinen lambda recht, habe mich bei der pqFormel vertan.
Was sagst du zur 2.?
Bei 3. war ich mir nicht so sicher, aber ich habe es nach dem Schema auf Seite 109 mit s(x)=0 und mit dem Schema auf Seite 118 gemacht und da kommt das gleiche raus. wie bist du denn vorgegangen?
Zu 3. mir ist da ein kleiner Fehler unterlaufen…erklär ich gleich:
dy
— =y*x Umstellen ergibt:
dx
1/y *dy = x *dx Integrieren
Integral von 1/y *dy = Integral x* dx +c (Integrationskonstante)
Du löst diese Gleichung nach y auf und kommst zum Ergebnis
y= sqrt[1/(2x²+2c)] -> da lag mein Fehler
Bei 3. kannst du einer Meinung nach nicht die Methode der Variation der Konstante anwenden, da s(x) nicht 0 sein darf…*grübel* bin mir nicht sicher, aber schau mal auf S.118 da sind ähnliche Beispiele wie deins…
Und bei 2. sind wieder die Eyponenten falsch, aber der Rest dürfte richtig sein…
1/y *dy = x *dx Integrieren
Integral von 1/y *dy = Integral x* dx +c (Integrationskonstante)
Du löst diese Gleichung nach y auf und kommst zum Ergebnis
y= sqrt[1/(2x²+2c)] -> da lag mein F
Also wenn ich integriere, erhalte ich
ln y = 1/2 x² + c
und das nach y aufgelöst ergibt doch:
y= e^(1/2x²+c)
Was mache ich falsch?
1/y *dy = x *dx Integrieren
Integral von 1/y *dy = Integral x* dx +c (Integrationskonstante)
Du löst diese Gleichung nach y auf und kommst zum Ergebnis
y= sqrt[1/(2x²+2c)] -> da lag mein F
Also wenn ich integriere, erhalte ich
ln y = 1/2 x² + c
und das nach y aufgelöst ergibt doch:
y= e^(1/2x²+c)
Was mache ich falsch?
Gar nichts! Ich komme auch darauf. [img]
http://www.fb18.de/gfx/23.gif[/img]
Du weisst gar nicht wlechen Gefallen du mir mit dieser Antwort gegeben hast! :-) [img]
http://www.fb18.de/gfx/25.gif[/img]
Okay, gebe euch Recht…hab nicht beachtet dass 1/y integriert ln y ist….die kleinen Tücken der Mathematik ;-)
Kann mir vielleicht wer erklären, wieso die allgemeine Lösung von 3y' + 2y - 2 = x² - x => y(x) = ce^(-2/3x) + 1/2x² - 2x + 4 ist? Also das ^-2/3x ist mir ja noch klar. Dann sieht es irgendwie so aus, als wäre +2 auf beiden Seiten addiert worden. Danach bekomme ich aber nichts wirklich passendes mehr für den Rest hin.
Edit: Was ich genau so wenig verstehe, wenn
3y' + 3y = e^-x * cos(x) => y(x) = ce^-x + 1/3e^-x * sin(x) ist.
Wieso ist dann:
3y' + y = cos(x) => y(x) = ce^(-1/3x).
Ich hätte da jetzt auf jeden Fall auch noch ein * sin(x) rangesetzt, wie es bei der anderen Aufgabe zur Lösung war.
(Blatt 9, Präsenzaufgaben)
Dann sieht es irgendwie so aus, als wäre +2 auf beiden Seiten addiert worden. Danach bekomme ich aber nichts wirklich passendes mehr für den Rest hin.
auf beiden Seiten wurde 2 addiert damit man die Gleichung in der Form ay' + by = s(x) hat. Jetzt kann man mittels einer Ansatzfunktion für y(x) die Gleichung lösen. (Falls du dich noch erinnerst, es wurde immer gesagt man macht den Ansatz mit einer Funktion, die die gleiche/eine ähnliche "Form" hat wie die Störfunktion. Da die Störfunktion einfach ein Polynom 2. Grades ist, macht man den Ansatz auch mit einem Polynom 2. Grades und setzt y(x) = A_0 x^2 + B_0 x + C_0.
Abgeleitet ergibt das y'(x) = 2*A_0 x + B_0
Setzt man beides in die ursprüngliche Gleichung ein (in diesem Fall allerdings die, nachdem man auf beiden Seiten 2 addiert hat), erhält man durch Koeffizientenvergleich ein Gleichungssystem, aus dem man A_0, B_0 und C_0 ausrechnet. Und da kommt dann raus A_0 = 1/2, B_0 = -2, C_0 = 4.
Wenn du willst kann ich Dir die Rechnung auch nochmal ausführlich hinschreiben [img]
http://www.fb18.de/gfx/17.gif[/img]
Edit: Was ich genau so wenig verstehe, wenn
3y' + 3y = e^-x * cos(x) => y(x) = ce^-x + 1/3e^-x * sin(x) ist.
Wieso ist dann:
3y' + y = cos(x) => y(x) = ce^(-1/3x).
die beiden Gleichungen haben ja nicht soo viel miteinander zu tun:
die 2. Gleichung ist "wesentlich" einfacher als die 1., da man in der 1. ja e^-x _*_ cos(x) hat. Deshalb ist die Ansatzfunktion dann von der Form [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?y(x)%20%3D%20e%5E%7B-x%7D*%20A_%7B0%7D%20*%20cos(x)%20%2B%20e%5E%7B-x%7D%20*%20B_%7B0%7D%20*%20sin(x)[/img], das abgeleitet ist dann schon ein etwas längerer Term:
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?y'(x)%20%3D%20-e%5E%7B-x%7D*A_%7B0%7D*cos(x)%20-%20e%5E%7B-x%7D*A_%7B0%7D*sin(x)%20-%20e%5E%7B-x%7D*B_%7B0%7D*sin(x)%20%2B%20e%5E%7B-x%7D*B_%7B0%7D*cos(x)[/img]
In der 2. Gleichung hat man als Ansatzfunktion einfach:
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?y(x)%20%3D%20A_%7B0%7D*cos(x)%20%2B%20B_%7B0%7D*sin(x)[/img]
, das abgeleitet ist ja noch überschaubar [img]
http://www.fb18.de/gfx/25.gif[/img]:
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?y'(x)%20%3D%20-A_%7B0%7D*sin(x)%20%2B%20B_%7B0%7D*cos(x)[/img].
Insgesamt ergeben sich also recht unterschiedliche Lösungsansätze, deshalb können die Lösungen auch nicht direkt verglichen werden.
Wenn du willst kann ich Dir die Rechnung auch nochmal
ausführlich hinschreiben
Ah, jetzt merke ich das auch. %) Das ist mal wieder ein typisch blödes Problem gewesen. Ich habe da die Aufgabenstellungen durcheinandergebracht. Bei der ersten Frage war ich bei "Allgemeine Lösung" von dem Weg für die homogene Gleichung ausgegangen. Ich meine, mir ist schon klar, dass die nicht homogen ist, aber ich dachte halt, dass man bei "allgemeiner Lösung" nie den Koeffizientenvergleich braucht. Das war dann auch bei der zweiten Frage mein Problen, da es einmal die Lösung nur für die homogene und einmal für die inhomogene ist. Klar das dann bei der 3y' + y = cos(x) nichts weiter hinter dem c-Teil kommt. [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]
Jedenfalls noch mal vielen Dank, konnte da doch wieder einige neue Erkenntnisse draus gewinnen. [img]
http://www.fb18.de/gfx/17.gif[/img] Das kann morgen ja echt heiter werden…
*knusper, knusper*
Vom Zettel M2 9, ÜA 1b:
3y' + 3y = e^(-x) * cos(x)
Muss ich hier so loslegen:
y = Ae^(-x) * (Bcos(x) + Csin(x))
y' = Ae^(-x) * (-Bsin(x) + Ccos(x))
?
Wenn ja, dann hätte ich hinterher ja so etwas:
3Ae^(-x) * (-3Bsin(x) + 3Ccos(x)) + 3Ae^(-x) * (3Bcos(x) + 3Csin(x)) = e^(-x) * cos(x)
So. Dann wären dass einmal 6A = 1 => A = 1/6 was aber schon mal nix passt, da hier am Ende 1/3 rauszukommen hat.
Außerdem wäre da ja noch -3B + 3C = 0 und 3C + 3B = 1. Aus dem ersten folgt B = C, womit B und C 1/3 wären. Aber eigentlich soll nur 1 sin(x) überbleiben. *argh*
Hat wer Rat?
Ableitung von e^-x ist - e^-x,
dann klappts
ach und du hast die 3 jeweils zweimal eingebaut, beim A und in der Klammer
richtig ist dann
3 A e^-x * (B sin - C cos) + 3 A e^-x (B cos + C sin)
Hmm. Ja. Ähm. Danke. *rotwerd*
Okay, noch ne vermutlich *rotwerd* Frage:
"Berechne die Lösung der Differentialgleichung y'' + 2y' + 5y = sin(x) mit der Anfangsbedingung y(0) = 2, y'(0) = 0."
Da bin ich inzwischen bis zu etwas wie
y = c - 1/10cos(x) + 1/5sin(x) gekommen. (Als allg. Lösung der inhomogenenen Gleichung). (A = -1/10 / B = 1/5)
Anfangswertproblem Thema y(0) = 2:
Also 2 = c - 1/10, bekomme ich also c1 = 21/10
Für y'(0) = 0 war ich der Meinung, jetzt auch die Ableitung nehmen zu müssen, wie ich sie bei der Berechnung der speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung verwendet habe:
y = A*cos(x) + B*sin(x)
y' = -A*cos(x) + B*cos(x)
also:
0 = c -(-1/10)*sin(0) + 1/5*cos(0)
0 = c + 1/5
c = -1/5
Aber c2 hat nicht -1/5tel sondern 19/20tel zu sein. Wo ist denn da mein Fehler?
Danke! Das ist vom Prinzip her dann ja einfach. Aber obwohl ich dachte, Ableitungen eigentlich zu können, verzweifel ich gerade an den beiden forderen teilen. Also allein mal die Ableitung von c1 * e^-x * cos(2x). Konstante Faktoren darf man rausziehen. Braucht man also doch eigentlich nur noch die Produktregel auf e^-x * cos(2x) anwenden?. Aaalso:
-e^-x * cos(2x) + e^-x * -2sin(2x)
----------------------------------
cos²(2x)
Aber von da aus sehe ich echt keinen Weg, auf das was Du als Ableitung aufgeschgrieben hast.
(argh, ich hasse es wenn der Browser beim Betätigen der Speichern-taste abschmiert [img]
http://www.fb18.de/gfx/8.gif[/img]..das kommt halt davon, Windoof zu benutzen [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img] nagut, nochmal von vorn)
Für die Ableitung von [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?c_%7B1%7D*e%5E%7B-x%7D*cos(2x)[/img] braucht man neben der Produktregel auch die Kettenregel, denn [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?cos(2x)'%20%3D%20cos'(2x)*(2x)'%20%3D%20-sin(2x)*2[/img].
Bei der Produktregel kommt bei mir allerdings auch kein Bruch raus, das wäre die Divisionsregel. Produktregel sieht in diesem Fall so aus:
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?(c_%7B1%7D*e%5E%7B-x%7D)'*cos(2x)%20%2B%20(c_%7B1%7D*e%5E%7B-x%7D)*cos(2x)'[/img]
Insgesamt also:
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?-c_%7B1%7D*e%5E%7B-x%7D*cos(2x)%20%2B%20c_%7B1%7D*e%5E%7B-x%7D*(-sin(2x))*2)[/img]
Aber von da aus sehe ich echt keinen Weg, auf das was Du als Ableitung aufgeschgrieben hast.
das kommt auch erst einen Schritt später, wenn alles abgeleitet ist. Der erste Term ist ja schon geklärt, der 2. ist [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?c_%7B2%7D*e%5E%7B-x%7D*sin(2x)[/img], abgeleitet also [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?-c_%7B2%7D*e%5E%7B-x%7D*sin(2x)%20%2B%20c_%7B2%7D*e%5E%7B-x%7D*cos(2x)*2[/img]
Wenn man die jetzt hat, kann man ja z.B. die beiden "sin(2x)"-Terme zusammenziehen:
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?-2c_%7B1%7De%5E%7B-x%7D*sin(2x)%20-%20c_%7B2%7D*e%5E%7B-x%7D*sin(2x)%20%3D%20(-2c_%7B1%7D%20-%20c_%7B2%7D)*e%5E%7B-x%7D*sin(2x)[/img]
Das gleiche nochmal jeweils für die "cos(2x)"-Terme und die "cos(x)"- und "sin(x)"-Terme, voila [img]
http://www.fb18.de/gfx/23.gif[/img]
Oh, hatte gar nicht mehr danke gesagt. Hmm. Irgendwie bin ich (in der vierten? fünften? Runde) gerade mal wieder bei den Differentialgleichungen gelandet. Dieses Mal aus den Prüfungsprotokollen. Wenn mal wer bei Langerweile ein Augen drauf werfen - auch wenn es vielleicht einfach ist, ich mach überall Fehler [img]
http://www.fb18.de/gfx/21.gif[/img] - mag:
y'' + y' + y = cos(2x)Homogene Gleichung: y'' + y' + y = 0
Charakteristische Gleichung: a² + a + 1 = 0
Nullstellen: a1/2 = - 1/2 +/- Wurzel( (1/2)² - 1) = -1/2 +/- 3/4i
ea1*x = e(-1/2 + 3/4i)x = e(-1/2x)(cos(3/4x) + isin(3/4x)
Allgemeine Lösung hom. Gl. yh = c1e-1/2xcos(3/4x) + c2e-1/2xsin(3/4x)
Rechnung spezielle Lösung:
y = A*sin(2x) + B*cos(2x)
y' = 2A*cos(2x) - 2B*sin(2x)
y'' = -4A*sin(2x) - 4B*cos(2x)
-3A*sin(2x) - 3B*cos(2x) + 2A*cos(2x) - 2B*sin(2x) = cos(2x)
i) -3A - 2B = 0 => B = -3A/2
ii) -3B + 2A = 1 == mit i) => 9A/2 + 2A = 1 => A = 2/13 => B = -3/13
Spezielle Lösung der inh. Gl. ys = yh + (2/13)*sin(2x) - (3/13)*cos(2x)
Edit: Wusste ich es doch. Einen Fehler schon selbst gefunden. %)
sieht alles richtig aus soweit, bis auf eine schliessende Klammer hier:
.. = e<sup>(-1/2x)</sup>(cos(3/4x) + isin(3/4x)
ich bezweifel allerdings dass sowas Einfluss auf die Notenvergabe hätte [img]
http://www.fb18.de/gfx/25.gif[/img]
Yippie. Wenn ich so weitermache, dann bin ich in nem Jahr auch fit für die Prüfung. [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img] Noch mal was triviales, was ich aus einem Prüfungsprotokoll aufgeschnappt habe. Eigentlich (hoffe ich zumindest) nur wegen der letzten Umformung von ln. Irgendwie bin ich mir bei allen was mit ln und e zu tun hat unsicher. Mag wohl an meinen Mathewechseln zur Schulzeit liegen und dass ich da irgendwie mal wieder Lücken habe.
y' = x²y und y(1) = 1
=> dy / dx = x²y
=> dy = x²y dx
=> dy * 1/y = x² dx
=> Integral(1/y dy) = Integral(x² + c dx)
=> ln|y| = 1/3x³ + c
==> y = e^(1/3x³ + c)
Startbedingung:
=> 1 = e^((1/3)*1 + c)
=> 1 = e^(1/3 + c)
=> c = -1/3
==> y = e^(2x - 1/3)
=> Integral(1/y dy) = Integral(x² + c dx)
=> ln|y| = 2x + c
hier stimmt was nicht, allerdings nicht bei ln(y), sondern 2x ist doch bestimmt keine Stammfunktion von x^2, oder? [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]
[img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img] Damit habe ich es heute wirklich. Vorhin habe ich auch fünf Minuten rumgerätselt, wieso eine Rechnung nicht stimmt und irgendwann oben entdeckt, dass ich beschlossen hatte, dass 3x die Ableitung von x³ sei. Maaaaaan!
Gleich mal editieren…
Hmm. Ich mag diese Diffentialgleichungen nicht. Wenn ich so was wie oben
http://3773.rapidforum.com/topic=101582132809&startid=1#158213280918237128 habe, nur mit 3cos(2x), ab wann wirkt sich das auf die spezielle Lösung aus?
Ist es dann schon y = A*sin(2x) + 3B*cos(2x)?
Oder kommt dann erst am Ende: -3A*sin(2x) - 3B*cos(2x) + 2A*cos(2x) - 2B*sin(2x) = 3cos(2x) ?
M2 Skript auf Seite 117 sagt mir irgendwie nix schlaues dazu. Na ja, nichts was ich verstehe.
Ist es dann schon y = A*sin(2x) + 3B*cos(2x)?
Oder kommt dann erst am Ende: -3A*sin(2x) - 3B*cos(2x) + 2A*cos(2x) - 2B*sin(2x) = 3cos(2x) ?
zweiteres.
M2 Skript auf Seite 117 sagt mir irgendwie nix schlaues dazu. Na ja, nichts was ich verstehe.
naja, das kann man da schon rauslesen wenn man will [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]
Oben auf der Seite steht wie die Ansatzfunktionen für bestimmte Störfunktionen aussehen - und dein Beispiel ist ja eindeutig vom Typ (II) (mit a_0 = 3).
Die Ansatzfunktion ändert sich also überhaupt nicht (oder siehst du bei der Ansatzfunktion irgendeine Erwähnung von a_0? [img]
http://www.fb18.de/gfx/25.gif[/img]), du kannst quasi die Ableitungen von vorher übernehmen - nur wenn es dann ans Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung geht, sieht diese dann natürlich anders aus.
zweiteres.
Mein Retter. %)
naja, das kann man da schon rauslesen wenn man will [img]http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]
Oben auf der Seite steht wie die Ansatzfunktionen für bestimmte Störfunktionen aussehen - und dein Beispiel ist ja eindeutig vom Typ (II) (mit a_0 = 3).
Die Ansatzfunktion ändert sich also überhaupt nicht (oder siehst du bei der Ansatzfunktion irgendeine Erwähnung von a_0? [img]http://www.fb18.de/gfx/25.gif[/img]),
Ne ja. Aber das große A0 ist ja noch da. Drum war ich mir nicht sicher, ob es nun den koeffizienten mit beinhaltet oder nicht. Das Beispiel schweigte sich natürlich auch mal wieder darüber aus. Ach, was bin ich nur bei den Informatikern gelandet. Ist einfach nix für mich. ^^
Eigentlich hatte ich das hier wegen einer Frage gepostet, die ich mir inzwischen schon selbst beantwortet habe. Aber als Hilfe für andere, lasse ich die Lösung doch einfach mal stehen.
2y'' - 3y' + y - 1 = x²
Umformen: 2y'' - 3y' + y = x² + 1
Klarmachen für 'ne pq-Formel: y'' - 3/2y' + y/2 = 1/2x² + 1/2
PQ-Formel: 3/4 +/- Wurzel(9/16 - 8/16)
Nullstellen: L1 = 1; L2 = 1/2
Also einmal: c1ex + c2e1/2x
Ansatzfunktion: y = x² + x + 1
y = A * x² + B * x + C
y' = 2A * x + B
y'' = 2A
Ax² + Bx + C - 6A - 3B + 4A = x² + 1
x^2: A = 1
x^1: B - 6A = 0 => B = 6
x^0: C - 3B + 4A = 1 => C = 15
c1ex + c2e1/2x + x² + 6x + 15
Ähm. Vielleicht lösche ich dieses Posting gleich wieder, aber bevor sich wer die Mühe macht: Ich glaube ich sehe meinen Fehler doch gerade. AltOr: Mathe ist echt nicht gut für mein Selbstbewußtsein. [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]
hab's mir jetzt nicht komplett angeschaut, aber hier ist wohl schonmal ein Fehler:
y = 1*A0 + 0*A1 x + 1*A2 x² // da 1 * x², 0 * x und 1 * 1
y' = 0*A0 + 2*A1 x // (x² + 1)' = 2x
y'' = 2*A0 // (2x)' = 2
denn du musst schon die richtigen Koeffizienten nehmen:
y = 1*A0 + 1*A2 x²
y' = 2*A2 x
y'' = 2*A2
edit: was solls [img]
http://www.fb18.de/gfx/25.gif[/img]
*g* Danke. Die 2A bei der zweiten Ableitung hatte ich natürlich auch wieder übersehen. Na ja. Nun ist es +14, anstatt +16. Weiterhin also +/-1 zum angeblich richtigen Ergebnis. %)
hast dich übrigens nur verrechnet am ende:
x^0: C - 3B + 4A = 1 => C- 18 +4 = 1 => C = 15
LoL. Die 1 auf der anderen Seite. ^^ Die hatte ich mir auf meinem offline Zettel nach dem Einsetzen gar nicht mehr notiert. [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img] Vielleicht sollte ich vor der Prüfung etwas Valium nehmen, um so etwas entegegen zu wirken. %) Ich korrigiere das unten im Text mal.
Noch mal zu meinem Lieblingsthema, wo mir eine kleine Abweichung nicht klar werden will.
Es geht nur um die Lösung der homogenen Gleichung zu:
y'' - y' + y = x²
Also doch mit der pq-Foreml:
- (-½) ± √(-1²/4 - 1)
= ½ ± i¾
c1 * e(½x) * cos(¾x) + c2 * e(½x) * sin(¾x)
Die Lösung besteht aber auf √(3)/2x bei Cosinus und Sinus.
