hi leute :)

ich hab mal ne frage zur determinante.
und zwar verstehe ich nicht so richtig, was "Linear in jeder Zeile" bedeutet. waere nett, wenn mal jemand eine anschauliche erklaerung liefern wuerde.

thx und so…

wenn x die Determinante einer Matrix M mit den Zeilen a_1 bis a_n ist, also det M = x, und Du dann *eine* *beliebige* Zeile der Matrix M mit lambda aus R multiplizierst, dann ist die Determinante der neuen Matrix lambda * x.

( a_11 a_12 a_13 ... a_1n ) ( ... ) c * x = det ( c*a_i1 c*a_i2 c*a_i3 ... ) ( ... ) ( a_n1 a_n2 a_n3 .... a_nn )

Auch nochmal eine Frage zur Determinte:

Was sagt mir dieser Wert eigentlich, falls mich mein Prüfer fragt, um was es sich denn bei der Determinante eigentlich handelt?
oder ist das egal?

Du kannst das geometrisch interpretieren. Der Betrag Determinante einer 2x2-Matrix ist beispielsweise der Flaecheninhalt des von den Spalten aufgespannten Parallelogramms, fuer hoeherdimensionale Faelle analog (heisst das dann Parallelotop?)
Das Vorzeichen der Determinante ist die Orientierung (siehe 3-Finger-Regel)

Allgm. ist es aber einfach eine Abbildung von der Menge der n x n Matrizen ueber einem Koerper K auf eben diesen Koerper K (d.h. jeder Matrix wird ein Wert zugeordnet). Damit das ganze Determinante genannt werden darf muessen noch verschiedene Bedingungen erfuellt sein. (So waere es eine Axiomatische Einfuehrung.)

Mal von der geometrischen Interpretation (die fuer 2x2 und 3x3 Matrizen gilt, damit praktisch relevant ist, aber bei weitem nicht alles aussagt was man mit Determinanten machen kann) abgesehen sind sie auch ansonsten ein sehr maechtiges Hilfsmittel. Bspw. laesst sich ja die Frage der Existenz von Eigenwerten auf die Nullstellenbestimmung des char. Polynoms zurueckfuehren - und fuer letzteres brauchst du Determinanten.

Cheers.

Kann mir jemand genau erklären, was der Zusammenhang der linearen Abbildung und der Matrix ist (Stichwort: kommutative Diagramm)???