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M3 Determinanten
Hallo Leute! Ich hab eine Frage und ich verzweifle langsam
Also die Determinante kann man ja berechnen, wenn man die obere Dreiecksmatrix berechnet und unter der Hauptdiagonalen nullen hat.Die Determinante ist das Produkt der Hauptdiagonalen.
Wenn ich das nun für die Aufgabe mache
1 2 -3 4
-1 0 0 1
3 -1 4 0
1 -3 2 -1
komme ich auf
1 2 -3 4
0 2 -3 5
0 0 5 11
0 0 0 26 das Produkt soll aber 65 sein, was bei mir nicht sein kann! Kann mir jemand sagen was ich falsch gemacht habe?
danke im vorraus
Ich weiss zwar nicht was du bei den Umformungen gemacht ahst aber bei mir sieht die determinante mit der Driecksform anders aus:
1 2 -3 4
0 2 -3 5
0 0 2,5 5,5
0 0 0 13
Es ergibt sich also eine rechnung:
1 * 2 * 2,5 * 13 = 65
es wäre echt nett wenn du mir deine zwischenschritte noch mitschickst!
das ist doch die eine übungsaufgabe oder?
kann mir da jemand vielleicht auch beschreiben/erklären, wie man die Dterminaten nach der 3. Spalte meinetwegen entwickelt?
Komme mit der Entwicklungsformel nicht so ganz klar…
hier die einzelnen schritte
1 2 -3 4
-1 0 0 1
3 -1 4 0
1 -3 2 -1
1 2 -3 4
0 2 -3 5
0 -7 13 -12
0 -5 5 -5
1 2 -3 4
0 2 -3 5
0 0 2,5 5,5
0 0 -2,5 7,5
1 2 -3 4
0 2 -3 5
0 0 2,5 5,5
0 0 0 13
Hoffe, das ist lesbar…ansonsten hätt ich gern nen Tipp, wie ich das besser hier posten kann
Antje
Apropos Sarrusregel, ich hab die auf Teufel komm raus nicht wieder gefunden im Jänich, bin mir aber ziemlich sicher daß die in der Vorlesung dran kam. Also, wurde die nur "inoffiziell" von Andreae erklärt oder gibt es doch eine Stelle in dem Buch wo das behandelt wird? (und lass es bitte nicht wieder so sein dass ich einfach nur die Riesenüberschrift "Sarrus-Regel" übersehen hab [img]
http://www.fb18.de/gfx/25.gif[/img])
ICh denke Sarrus war nur inoffiziell wobei es nicht gerade beliebt ist… Also doch entwicklungsformel bzw. Hauptdiagonale lernen…
danke uncle owen…hab mir das so ungefähr auch gedacht, hab bloß für diese aufgabe nicht das richtige ergebnis rausbekommen…muss da irgendwo ne falsche zahl hingeschrieben haben…
finde da kommt echt leicht durcheinander…mit der oberen dreiecksmatrix ist das wesentlich einfacher
kann jemand vielelicht die jägerzaunregel nochmal kurz erläutern???
kann mich nur dran erinnern, dass die einträge der determinate wechselseitig (schachbrettmuster) mit positiv und negativ angenommen werden…aber dann???
kann mich nur dran erinnern, dass die einträge der determinate wechselseitig (schachbrettmuster) mit positiv und negativ angenommen werden…aber dann???
das hat mit der Sarrusregel nichts zu tun, das Schachbrettmuster tritt bei den Koeffizienten der Spalten-/Zeilenentwicklungsformel auf (wie bei der Lösung von Uncleowen gezeigt bei +(-3)*.. -0*.. +4*.. -2*.. )
zur Jägerzaunregel (geht nur bei 3x3-Matrizen):
wenn man die Einträge der Matrix a11 bis a33 hat, dann ist die Determinante:
a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - (a31*a22*a13 + a21*a12*a33 + a11*a23*a32)
um zu verstehen warum das Jägerzaunregel heisst (und damit man sich das überhaupt merken kann), muss man aber sehen, daß diese Produkte quasi ein Zaunmuster auf der Matrix darstellen, für die ersten drei Summanden zieht man Linien von links oben diagonal nach rechts unten, bei den letzten drei (mit dem - davor) zieht man Linien von links unten nach rechts oben
Frage zur leibnizschen Formel!
Kann jemand vielleicht die Formel anhand eines Beispiels erklären?
zb für 1 0 1
2 3 -1
0 1 1
Permutaion und alles ist klar, nur wie rechnet man den jetzt genau die Determinante aus?
Danke schon mal
danke felix…jetzt ist mir die jägerzaunregel wieder bekannt…mußte nur mein gedächtnis etwas auffrischen
Frage zur leibnizschen Formel!
Kann jemand vielleicht die Formel anhand eines Beispiels erklären?
Das hab ich doch unten schon gemacht.
oder oben, je nachdem, wierum Du die Posts anzeigen laesst.
Hallo,
ich hab* auch mal eine Frage bezüglich der Leibniz-Formel:
was ist genau gerade/ungerade Permutation?
Im Skript steht ja, wenn man gerade Anzahl von Nachbarvertauschungen gemacht hat, dann ist die Permutation gerade, sonst ungerade.
Z.B. (1.2)
a) 1 geht auf 2
b) 2 geht auf 1
Also, ist die Permutation gerade (2 Möglichkeiten, 2 ist gerade)…
Das stimmt aber nicht. In einem Buch, das ich gelesen hab*, steht, dass diese Permutation ungerade ist!!!!!!
Sieht jemand, wo mein Fehler ist???
Vielen Dank!
Hallo,
Ich hab* noch *ne Frage:
Fakt:
Wenn zwei Zeilen (mindestens)in einem Matrix linear abhängig sind, dann ist die Determinante gleich Null.
Frage:
-Gilt es auch umgekehrt?
-Warum?
Im Skript steht ja, wenn man gerade Anzahl von Nachbarvertauschungen gemacht hat, dann ist die Permutation gerade, sonst ungerade.
Z.B. (1.2)
a) 1 geht auf 2
b) 2 geht auf 1
Es geht um die Zahl der VERTAUSCHUNGEN. Du vertauscht 1 und 2, und zwar genau ein mal (oder meinetwegen auch drei). Die Permutation ist also ungerade.
Fakt:
Wenn zwei Zeilen (mindestens)in einem Matrix linear abhängig sind, dann ist die Determinante gleich Null.
Frage:
-Gilt es auch umgekehrt?
-Warum?
Es gilt:
Die Familie der Zeilen einer Matrix ist linear abhaengig <=> die Determinante ist 0.
"=>" kennst Du ja anscheinend
Beiweis von "<=":
Sei A eine quadratische Matrix der Groesse n, die Zeilen seien linear unabhaengig. Die Matrix hat also den Rang n. Das heisst, sie kann durch elementare Umformungen in die Einheitsmatrix verwandelnt werden. Bei den elementaren Umformungen veraendert sich die Determinante um einen Faktor ungleich 0, die Determinante der Einheitsmatrix ist 1, also war auch die Determinante der Ausgangsmatrix ungleich 0.
Fakt:
Wenn zwei Zeilen (mindestens)in einem Matrix linear abhängig sind, dann ist die Determinante gleich Null.
Frage:
-Gilt es auch umgekehrt?
-Warum?
ja, das gilt auch umgekehrt, also aus det A = 0 folgt rg A < n, denn wenn man eine (n x n)-Matrix A mit rg A = n hat, dann kann man durch elementare Zeilenumformungen zu der Einheitsmatrix gelangen, und aus det E = 1 folgt dass det A != 0, da die elementaren Zeilenumformungen die Determinante nicht "entscheidend" verändern.
edit: okay, hätt ich mir wohl auch sparen können [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]
Kann mir Jemand die Leibnizregel in Grundzügen erklären, habe das nicht verstanden
1.Versuch: Ein echter Leibnizkeks hat 52 Zähne.
2.Versuch: Bei jedem mal wenn man eine Spalte mit einer anderen in einer Determinante vertauscht ändert sich das Vorzeichen. Also bleibt das Ergebnis das gleiche nur mit anderem Vorzeichen. Bei zwei Vertauschungen ist man also wieder beim "alten" Vorzeichen… das drückt die Formel aus. Bei grader Anzahl vertauschungen passiert nichts (weil sie sich "aufheben"). Bei ungrader wechselt das Vorzeichen.
Sorry, wenn beides Falsch war…
ach ja… es sind Nachbarvertauschungen gemeint:
z.B.: X X X A X B X X X -> X X X B X A X X X sind also 3 Vertauschungen
X X X A X B X X X
X X X X A B X X X
X X X X B A X X X
X X X B X A X X X
und was hat man durch solche vertauschungen erreicht? bzw. worin besteht nutzen?
wie kann ich damit ne determinaten ausrechnen?
Wenn man z.B. das hier hat:
|1 x c t|
|0 2 4 c|
A=|0 0 6 3|
|0 0 0 5|weiß man ohne groß zu rechnen das det(A)=1*2*6*5=60 ist.
Hat man :
|x 1 c t|
|2 0 4 c|
B=|0 0 6 3|
|0 0 0 5|ist es gut zu wissen, das man die ersten beiden Spalten tauschen darf und nur das Vorzeichen ändern muss:
det(B)=-det(A)
P.S.: glaub ich…
Also kann man mit der Leibnizformel keine Determinaten berechnen, die noch überall EInträge hat, sondern erhält eine Hilfe, wenn es beim Umformen zur oberen Dreiecksmatrix "Schwierigkeiten" gibt…
*nunlangsambeginntzuverstehen*
Also kann man mit der Leibnizformel keine Determinaten berechnen, die noch überall EInträge hat, sondern erhält eine Hilfe, wenn es beim Umformen zur oberen Dreiecksmatrix "Schwierigkeiten" gibt…
*nunlangsambeginntzuverstehen*
Tut mir leid, Dich wieder verwirren zu muessen, aber: Mit der Leibnizformel KANN man theoretisch Determinanten direkt ausrechnen. Nur will man das in der Praxis nie, da man dafuer n! Terme berechnen muss. Was Bobo erzaehlt hat sind alles nur nuetzliche Folgerungen daraus.
Da ich nicht weiss, wie genau die Formel im Jaenich steht, hier erstmal die Formel aus dem Fischer:
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cdet%20A%20%3D%20%5Csum_%7B%5Csigma%20%5Cin%20S_n%7D%20sign(%5Csigma)%20%5Ccdot%20a_%7B1%5Csigma(1)%7D%20%5Ccdots%20a_%7Bn%5Csigma(n)%7D[/img]
(Dabei hat A die Groesse n x n)
So, was heisst das jetzt praktisch?
Um eine Determinante zu berechnen nimmt man sich immer n Eintraege aus der Matrix, und zwar so, dass keine 2 Eintraege aus der gleichen Zeile oder Spalte stammen. Die multipliziert man dann auf. Das macht man fuer JEDE moegliche Kombination, und die einzelnen Produkte addiert man dann auf, nachdem man vorher ein wenig mit den Vorzeichen gespielt hat.
Im Fall n = 2 erhaelt man auf diesem Weg die bekannte Regel, um 2 x 2 Determinanten zu berechnen ([img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?a_1%5E1a_2%5E2-a_1%5E2a_2%5E1[/img]),
im Fall n = 3 erhaelt man die bereits erwaehnt Sarrusregel.
Fuer n = 4 wird das ganze wie gesagt fuer die Praxis unbrauchbar.
PS: Sorry an den anonymen User, hab vor ein paar Tagen die Leibnitzformel mit dem LaPlace'schen Entwicklungssatz verwechselt.
Sei noch erwaehnt, das UncleOwen oben fuer den Fall n=2 NICHT Quadrate meinte, sondern, dass das eine (Tiefgestellte Indizes bspw.) die Spalten indiziert, das andere die Zeilen.
Und dies:
nachdem man vorher ein wenig mit den Vorzeichen gespielt hat.
bezieht sich auf das Vorzeichen (Signum) der Permutation. [In der Formel fehlt das "sign" vor dem (\sigma).]
Cheers.
