Moin,
ich bin gerade mal wieder beim Wiederholen von Mathe und bin auf die Familien gestoßen, die ich schon nicht verstanden hatte als der Stoff damals drankam.
Deshalb meine Fragen, ich hoffe ihr könnt mir helfen:
(1) Was bedeutet denn Familie anschaulich? Was wir da von wo nach wo abgebildet.
Im Skript steht x: I -> M, aber wo ist da der Bezug zu den eigentliche Funktion, die damit dargestellt werden soll? Kann man sich zu dem ganzen irgendwie eine Art Bildchen malen, um anschaulich zu sehen was wohin abgebildet wird oder entzieht sich der Begriff Familie der Vorstellungskraft?
Was ist vor allem xi in Funktionsschreibweise?
(2) Kennt jemand irgendwelche Online-Quellen zu dem Thema, leider konnte ich nichts gescheites finden und in allen Bücher, auch im Biggs, steht nicht gerade viel dazu.
(3) Ist eine Familie auf Elemente bezogen, während eine Familie von Mengen, genau diese als Elemente hat?
(4) Was ist eine Familie von Teilmengen aus einer Menge dann?
(5) Im Skript unter 1.67 steht, dass gerade der Durchschnitt der Familie (Ai)i<element>I für I=leere Menge gleich der Klasse Me ist, aber von meinem Verständnis aus, müsste das doch gerade die Vereinigung und nicht der Durchschnitt sein, wo ist mein Denkfehler???
Danke schonmal allen,
Manu. [img]
http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img]
(1) Was bedeutet denn Familie anschaulich? Was wir da von wo nach wo abgebildet.
Im Skript steht x: I -> M, aber wo ist da der Bezug zu den eigentliche Funktion, die damit dargestellt werden soll? Kann man sich zu dem ganzen irgendwie eine Art Bildchen malen, um anschaulich zu sehen was wohin abgebildet wird oder entzieht sich der Begriff Familie der Vorstellungskraft?
Was ist vor allem xi in Funktionsschreibweise?
Ne Familie kann man sich ganz einfach darstellen. Das sind einfach durchnumerierte Elemente, z.B. a1, a2, a3, a4 In diesem Fall z.B. ist die Indexmenge = {1, 2, 3, 4} = [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cunderline4[/img]. Meistens werden die Familien mit Indexmengen der Sorte [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cunderline%20n[/img] benutzt um Elemente von a1 bis an zu bekommen. I ist also die Indexmenge, also das was man an die a ranschreibt, M ist die Menge aus der die a alle sind. DIe Funktionsschreibweise erklärt sich dann durch [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?a_i%20=%20a(i)[/img]
(3) Ist eine Familie auf Elemente bezogen, während eine Familie von Mengen, genau diese als Elemente hat?
Genau, eien Familie kann im allgemeinen alles Mögliche enthalten. Meistens sind das einfache Elemente aus einer Zielmenge M. Manchmal braucht man aber eine Ansammlung von Mengen, das nennt man dann eine Familie von Mengen.
(4) Was ist eine Familie von Teilmengen aus einer Menge dann?
Da nimmt man sich halt dann für jedes a eine Teilmenge. Sei z.B. M = {1, 2, 3}, dann ist eine Familie aus Teilmengen z.B.
a1 = {}
a2 = {1, 3}
a3 = {1, 2, 3}
a4 = {2, 3}
a5 = {1, 3}
(5) Im Skript unter 1.67 steht, dass gerade der Durchschnitt der Familie (Ai)iI für I=leere Menge gleich der Klasse Me ist, aber von meinem Verständnis aus, müsste das doch gerade die Vereinigung und nicht der Durchschnitt sein, wo ist mein Denkfehler???
Sorry, da kann ich net aushelfen, für mich kommt da gedanklich immer nur die leere Menge raus [img]
http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img]
(5) Im Skript unter 1.67 steht, dass gerade der Durchschnitt der Familie (Ai)i<element>I für I=leere Menge gleich der Klasse Me ist, aber von meinem Verständnis aus, müsste das doch gerade die Vereinigung und nicht der Durchschnitt sein, wo ist mein Denkfehler???
Dafür mag ich Günther. :) So schön abstrakt, und immer die undenkbaren Spezialfälle hervorheben, die eh niemand braucht.
Ich fange mal mit der (einfacheren) Vereinigung an:
Ergebnis = {};
foreach Ai in Mengen:
Ergebnis = Ergebnis [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Ccup[/img] AiDamit die Durschnittsbildung ähnlich funktioniert, muß man sich einen geeigneten Startwert ausdenken. Der ist
Me.
Ergebnis = Me;
foreach Ai in Mengen:
Ergebnis = Ergebnis [img]http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Ccap[/img] AiDeshalb definiert(?) man sich
Me als Startelement für den Durchschnitt. Das ist dann gleichzeitig der Durschnitt von 0 Mengen.
Falls das in (1.67) nicht definiert, sondern hergeleitet wurde, weiß ich nicht weiter, aber daß es vernüftig ist, habe ich hoffentlich gezeigt.
Also wie ich es jetzt verstanden habe, ist Familie also eine Art Schema, eine Funktion Indexmenge -> M, die einfach die Elemente in M sozusagen "durchnummeriert".
Also könnte man sich auch z.B. eine Familie von Funktionen basteln f: A -> B, (F i) i<element>I, I<element>N*, so dass die Funktionen einfach durchnummeriert würden: f1: a1 -> b1, fi: ai -> bi???
Ist also einfach eine Möglichkeit irgendein Objekt mit einem Index zu versehen, ohne, dass das für das Objekt selbst irgendwelche Auswirkungen hat?
Zu der Sache mit
(Ai)i<element>I für I=leere Menge gleich der Klasse Me
ist es so, dass zwar Vereinigung und Durchschnitt definiert sind, aber er schreibt: "Man kann zeigen…" insofern ist es eine Behauptung und keine Definition, aber wenn das sowieso von geringerem Interesse ist, nehm' ich es einfach mal so hin, dass es so ist, mir leuchtet nämlich immer noch nicht ein, wie man aus dem Durchschnitt von einer Menge, die keine Elemente hat [i<element>leere Menge] irgendein Ergebnis bekommen kann…
Danke jedenfalls schonmal.
Es wäre toll, wenn jemand noch irgendwelche Beispiele zur Familienschreibweise hätte, wo Objekte indiziert werden, denn am Beispiel kann man ja bekannterweise seine Anschauung am besten verbessern…
Thx, Manu.
Also wie ich es jetzt verstanden habe, ist Familie also eine Art Schema, eine Funktion Indexmenge -> M, die einfach die Elemente in M sozusagen "durchnummeriert".
Ja, so kann mans sehen.
Also könnte man sich auch z.B. eine Familie von Funktionen basteln f: A -> B, (F i) iI, IN*, so dass die Funktionen einfach durchnummeriert würden: f1: a1 -> b1, fi: ai -> bi???
Ja, sowas kann man bastelt, auch wenn die Definition wohl eher so aussieht:
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?f%20%5Cin%20F(%5Cunderline%20n,%20F(A,B))[/img]
(zur Erinnerung: F(A, B) waren die Funktionen von A nach B)
Dann ist jedes einzelne [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?f_i:%20A%20%5Crightarrow%20B[/img]
Ist also einfach eine Möglichkeit irgendein Objekt mit einem Index zu versehen, ohne, dass das für das Objekt selbst irgendwelche Auswirkungen hat?
Was heißt ein Objekt mit einem index zu versehen, man schafft ja im Prinzip schon die Familie als neues Element, das man mit Inhalt füllt. Wenn man will sowas wie ein Array aus vorgegebenen Werten
ist es so, dass zwar Vereinigung und Durchschnitt definiert sind, aber er schreibt: "Man kann zeigen…" insofern ist es eine Behauptung und keine Definition, aber wenn das sowieso von geringerem Interesse ist, nehm' ich es einfach mal so hin, dass es so ist, mir leuchtet nämlich immer noch nicht ein, wie man aus dem Durchschnitt von einer Menge, die keine Elemente hat [ileere Menge] irgendein Ergebnis bekommen kann…
Hat low_level doch sehr schön demonstriert: Bei der großen Vereinigung von Mengen fängst du an mit der leeren Menge. Da tust du dann alles dazu was du in den so zu vereinigenden Mengen findest. Ähnlich kannst du die Schnittmenge sehen. Du fängst an mit der Menge in der ALLES drin ist (Me). Dann nimmst du dir die erste zu schneidende Menge und behältst nur über was in deiner ALLES-Menge drin war und in der ersten zu schneidenden. Danach fährst du so mit allen zu schneidenden fort.
ist es so, dass zwar Vereinigung und Durchschnitt definiert sind, aber er schreibt: "Man kann zeigen…" insofern ist es eine Behauptung und keine Definition, aber wenn das sowieso von geringerem Interesse ist, nehm' ich es einfach mal so hin, dass es so ist, mir leuchtet nämlich immer noch nicht ein, wie man aus dem Durchschnitt von einer Menge, die keine Elemente hat [i<element>leere Menge] irgendein Ergebnis bekommen kann…
Neinneinnein, nicht "Durchschnitt einer Menge, …", sondern "Durchschnitt von 0 (Null) Mengen".
Es wäre toll, wenn jemand noch irgendwelche Beispiele zur Familienschreibweise hätte, wo Objekte indiziert werden, denn am Beispiel kann man ja bekannterweise seine Anschauung am besten verbessern…
Einen Spezialfall einer Familie hast Du vielleicht schon mal in der Schule kennengelernt: Eine Folge. Eine Folge ist einfach nur eine Familie, bei der die Indexmenge gleich [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cmathbb%7BN%7D[/img] ist.
Also wie ich es jetzt verstanden habe, ist Familie also eine Art Schema, eine Funktion Indexmenge -> M, die einfach die Elemente in M sozusagen "durchnummeriert".
Ja, so kann mans sehen.
Das gilt aber nur, wenn die Familie injektiv ist. Ansonsten könnte ja ein Element aus M zu zwei oder mehr Indizes gehören, und eine "Numerierung" ist das dann nicht mehr.
Beispiel:
Sei [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?(a_i)_%7Bi%20%5Cin%20%5Cunderline%7B4%7D%7D[/img] eine Folge in [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%5Cmathbb%7BN%7D[/img]. a_1 := 1, a_2 := 2, a_3 := 1, a_4 := 5.
Die Zielmenge würde ich dann nicht numeriert nennen.
Also so langsam verstehe ich was gemeint ist, das Beispiel mit der Folge von low_level, war recht anschaulich, ist immer praktisch, wenn man auf etwas Bekanntes zurückfürhen kann. [img]
http://www.fb18.de/gfx/14.gif[/img]
Aber das Beispiel mit den Funktionen
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?f%20%5Cin%20F(%5Cunderline%20n,%20F(A,B))[/img]
was Tri anders dargestellt hatte, ist doch nicht mehr diese typische Familiendarstellungsart. So kenne ich das auch von den Übungszetteln etc., aber für Familien ist doch die Darstellung (A i) i element I, wobei A dann die Menge der Funktionen von A in B ist und i die Menge der Zahlen von n-unterstrichen, also 1-n… Oder kann man das gar nicht auf diese Weise darstellen und wählt immer Tri's Darstellungsweise???
Das gilt aber nur, wenn die Familie injektiv ist. Ansonsten könnte ja ein Element aus M zu zwei oder mehr Indizes gehören, und eine "Numerierung" ist das dann nicht mehr.
Also Familien können auch NICHT injektiv sein? Und welchen Sinn machen sie dann in diesem Fall noch? Oder ist das in diesem Fall nur noch Spielerei?
Also Familien können auch NICHT injektiv sein? Und welchen Sinn machen sie dann in diesem Fall noch? Oder ist das in diesem Fall nur noch Spielerei?
Klar können sie nicht injektiv sein, muss ja nur irgendeine Funktion sein. SInn macht das durchaus manchmal. Jede Folge ist wie low_level sagte eine spezielle Familie. Wenn man jetzt z.B. die Folge [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?(a_i)_%7B(i%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D)%7D,%20a_i%20=%20(-1)%5Ei%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D[/img] betrachtest, dann ist die sicherlich interessant, aber absolut nicht injektiv. Außerdem würde die Einschränkugn auf injektiv IMHO viele einfache Sachen nur unnötig einschränken (man müsste z.B. bei den großen Vereinigungen und Durchschnitten immer darauf achten, dass keine Menge doppelt vorkommt)
Einen Spezialfall einer Familie hast Du vielleicht schon mal in der Schule kennengelernt: Eine Folge.
Man kann eine Familie auch als das mathematische Äquivalent zu einer Liste (Scheme, Lisp) sehen. Du hast eine geordnete Indexmenge, und darüber kannst Du auf die Elemente der Liste zugreifen.
Interessanter Bezug, das mit den Listen. Danke euch beiden, ihr habt mir sehr weitergeholfen,
schönen Sonntag noch,
cu, Manu. [img]
http://www.fb18.de/gfx/bounce.gif[/img]
Ich finde der Beweis sieht ziemlich gut aus [img]
http://www.fb18.de/gfx/14.gif[/img][img]
http://www.fb18.de/gfx/23.gif[/img]
sieht ziemlich gut aus?
also entweder sollte ich mich schnell von M1 abmelden, oder da ist ein Fehler
[img]
http://www.jangagelmann.de/dennis/AB.gif[/img]
oder nicht?
ich bekomms gerad formal nicht so ma eben hin… :(
Verdammt, der Mensch hat einen guten Einspruch..das kommt davon wenn man "soltle trivial sein" als solches ansieht [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img], dochdoch:
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?%0A%0Ax%20%5Cin%20(A%20%5Csetminus%20(A%20%5Csetminus%20B))%0A%0A%5CLeftrightarrow%20x%20%5Cin%20A%20%5Cwedge%20%5Cneg(x%20%5Cin%20A%20%5Csetminus%20B)%0A%0A%5CLeftrightarrow%20x%20%5Cin%20A%20%5Cwedge%20%5Cneg(x%20%5Cin%20A%20%5Cwedge%20x%20%5Cnotin%20B)%0A%0A%5CLeftrightarrow%20x%20%5Cin%20A%20%5Cwedge%20(x%20%5Cnotin%20A%20%5Cvee%20x%20%5Cin%20B)%0A%0A%5CLeftrightarrow%20(x%20%5Cin%20A%20%5Cwedge%20x%20%5Cnotin%20A)%20%5Cvee%20(x%20%5Cin%20A%20%5Cwedge%20x%20%5Cin%20B)%0A%0A%5CLeftrightarrow%20x%20%5Cin%20A%20%5Cwedge%20x%20%5Cin%20B%0A%0A%5CLeftrightarrow%20x%20%5Cin%20A%20%5Ccap%20B[/img]
ja öh und wenn du jetzt aus dem xeA UND xeB noch ein xe (A geschnitten B) machst sind wir uns einig :>
aber was heißt das denn nun für den gesamt-beweis?
Hmm…
(1.25(5)) (wenn sich Euer Skript gegenüber unserem damals nicht geändert hat):
[img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?B%20%5Csubset%20A%20%5Cquad%5CRightarrow%5Cquad%20(A%20%5Ccap%20B)%20=%20B[/img]
Das könnte das Problem lösen.
Gruß das Tentakelchen
– mit 8 Armen am mathematieren
Nicht böse sein, aber Kalmare haben 10 Arme, die mit 8 heißen Octapus. [img]
http://www.fb18.de/gfx/google.gif[/img]
Gruß, Dirk
Menno ihr habt ja alle recht, ich rechne jetzt nicht mehr vorm Schlafen, das wird nichts [img]
http://www.fb18.de/gfx/24.gif[/img]
Soso, ihr habt mich also ertappt [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img].
Na gut, ich behaupte aber, und TriPhoenix hatte vorhin nichts dagegen einzuwenden, dass [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?A%20%5Csetminus%20(A%20%5Csetminus%20B)%3DB[/img] gilt, wenn [img]
http://mokrates.de/cgi-bin/texstring?B%20%5Csubset%20A[/img].
In
Me sind doch bekanntlich alle Mengen drin, also auch die gefragte. Daher müsste der Satz hier anwendbar sein. Oder habe ich woanders noch ein Fehler?
