Hallo,

mal eine bestimmt ziemlich "einfache" Frage:

Um von einer Abbildung zu zeigen, daß sie ein Hom ist, muß man doch zeigen:
1)lambda*f(x,y) = f(lambda*(x,y)) und
2)f((x,y)+(a,b)) = f((x+a),(y+b))?

speziell mit 1) hab ich irgendwie ein Problem. Könnte mal bitte jemand die Sache z.B. an der Präsenzaufgabe von Blatt 3, Nr. 2 zeigen!?

Um von einer Abbildung zu zeigen, daß sie ein Hom ist, muß man doch zeigen:
1)lambda*f(x,y) = f(lambda*(x,y)) und
2)f((x,y)+(a,b)) = f((x+a),(y+b))?

Das ist richtig.
Jetzt nimmst Du einfach Deine Formel (1) oder (2) und löst sie von links nach rechts auf (immer das Ziel im Auge behalten). Am besten schaust Du Dir erst die gegebene Funktion an und versuchst einen Wert zu finden, für den es nicht funktioniert. Z.B.: f(x,y):=(x,xy)-> Setze lambda=-1 und x,y jeweils 1 ein, und siehe da es geht nicht. Ich hoffe das hilft. Bei Addition im Prinzip genauso. Aber Achtung, man kann es teilweise auch schon ohne einen speziellen Wert einzusetzen beweisen.

die 2. Regel lautet eher so:
2)f(x,y)+ f(a,b) = f(x+a,y+b)


gegeben: f(x,y) = (x,xy)

1.) lambda = l
l*f(x,y)=l*(x,xy)=(lx,lxy)=f(lx,y) ungleich f(lx,ly)=f(l(x,y))

2.)
f(x,y)+f(a,b)=(x,xy)+(a,ab)=(x+a,xy+ab)=f(x+a,(xy+ab)/(x+a)) ungleich f(x+a,y+b)

damit doppelt nicht erfüllt
(edit: ach ja, wie justme sagt, das 'nicht erfüllt' muss man mit Gegenbeispielen zeigen,
also 1.) ist z.B. für l=2 nicht erfüllt)
—————–

gegeben: f(x,y) = (3x-5y,0)

1.)
l*f(x,y)=l*(3x-5y,0)=(3lx-5ly,0)=f(lx,ly)=f(l(x,y))

2.)
f(x,y)+f(a,b)=(3x-5y,0)+(3a-5b,0)=(3(x+a)-5(y+b),0)=f(x+a,y+b)

also ein Homomorphismus

(von Rechenfehlern abstrahiert)


edit:

2)f((x,y)+(a,b)) = f((x+a),(y+b))?

Das ist richtig.

diese Gleichung ist nach Definition der Addition IMMER erfüllt,
für einen Homomorphismus muss schon etwas schwierigeres gelten,
siehe oben

Für die Addition war das der entscheidende Hinweis.

Das Finden von Gegenbeispielen ist hier ja noch recht einfach - aber wenn die Sache komplexer wird, gibt es da noch eine andere Möglichkeit?