Weiß jemand wie man 7.1b löst?
Und wenn ja, wie?

dank
stefan mark

Wo schau ich überhaupt nach, was man machen soll? Ich nichtmal in der Lage, die Seite im Buch zu finden….:( Hilfe!

mehrdimensionale verteilung ist im buch ab seite 105,
wenn man das nicht findet, oje ;)

für b) ist im besonderen maße folgerung 6.12 (b) und (d) interessant

zu 7.1 a)
die Y_n sind ja st.u. voneinander.. Addieren die sich dann einfach, wenn man f^Y mit Y=(Y1,Y2,Y3,Y4) haben will?

dakira

definiere addieren..

gemeinsame normalverteilung wie in 6.12 (e) beschrieben,
da muss man eigentlich nix addieren [img]http://www.fb18.de/gfx/3.gif[/img]

aber in Folgerung 6.12 (e) steht nix von gemeinsamer verteilung..
addieren war quatsch, sorry..
aber wenn ich nun meine 4 normalverteilungen habe und die Gemeinsame haben will.. wie mach ich das.. multiplizieren, da sie ja st.u. sind und somit eine Produktdichte haben muessten? Oder krieg ich da wieder was durcheinander…?!

Da ja anscheinend alle das ohne Probleme hinkriegen waere ich sehr dankbar, wenn sich mal jemand "herablaesst" und ein paar Hinweise liefert..

gruss
dakira

aber in Folgerung 6.12 (e) steht nix von gemeinsamer verteilung..
[..]
aber wenn ich nun meine 4 normalverteilungen habe und die Gemeinsame haben will.. wie mach ich das.. multiplizieren, da sie ja st.u. sind und somit eine Produktdichte haben muessten? Oder krieg ich da wieder was durcheinander…?!

tja die genauen definitionsunterschiede kenn ich auch nicht,
und ob man hier mit produktdichte gross weiterkommt, wer weiss..,

aber wir sind hier nun mal bei den mehrdimensionalen
normalverteilungen, mit vektoren und matixen und so,

da funktioniert das nur so wie in dem kapitel angegeben,
und der tenor des ganzen: einzelne normalverteilungen werden
zu mehrdimensionalem GEMEINSAMEN normalverteilungen
zusammengefasst (in bemerkung 1 taucht das wort dann auf ;) ),

offensichtlich so wie in 6.12 (e) angegeben, sonst steht nämlich nirgendwo was ;)

Da ja anscheinend alle das ohne Probleme hinkriegen waere ich sehr dankbar, wenn sich mal jemand "herablaesst" und ein paar Hinweise liefert..

mach ich doch schon ;)

was kann man da noch sagen?,
6.12 (e) gibt eine simple und vollständige anleitung zur lösung von aufgabe a),
alles was man braucht ist gegeben,

hast du da noch konkrete fragen?

ja. ich seh in Folgerung 6.12(e) einfach keine konkrete anleitung. Sorry.. ich sehe es nicht.. da steht nur unter welcher bedingung Zufallsvariablen st.u. sind und daraus folgt dann das, was wir im Grunde in der Aufgabenstellung gegeben haben. Mehr sehe ich da nicht..
Oder ich verstehe einfach den versteckten Hinweis nicht..

Da ja anscheinend alle das ohne Probleme hinkriegen waere ich sehr dankbar, wenn sich mal jemand "herablaesst" und ein paar Hinweise liefert..

mach ich doch schon ;)

noe.. du sagst mir nur indirekt, dass ich zu doof zum lesen bin. [img]http://www.fb18.de/gfx/6.gif[/img]

Das Buch hab ich hier liegen und werde daraus nicht schlau. Verweise auf das Buch helfen da nicht so wirklich weiter.

gruss und trotzdem danke
dakira

Sorry, wenn ich zwischendurch ne Frage zu 7.1 a) habe. Ich denke mal, man soll Def. 6.12 zum lösen benutzen.


Im Buch S.106 wird die Matrix A = (a_ij) definiert. Nun, ich habe die Matrix aus den in der Aufgabe angegebenen Mittelwerten (a_i) gebildet, als nxn-Matrix.

Diese Matrix muss um invertierbar zu sein nen vollen Rang haben,d.h. weder Spalten, noch Zeilen dürfen von einander linear abhängig sein. Nun ist dies aber der Fall. Wie soll ich dann nachher zu
K = AA^T
das Inverse K^(-1) finden?
Also liegt mein Fehler doch schon am Anfang. Kann mir da jmd weiterhelfen?

ja. ich seh in Folgerung 6.12(e) einfach keine konkrete anleitung. Sorry.. ich sehe es nicht.. da steht nur unter welcher bedingung Zufallsvariablen st.u. sind und daraus folgt dann das, was wir im Grunde in der Aufgabenstellung gegeben haben. Mehr sehe ich da nicht..
Oder ich verstehe einfach den versteckten Hinweis nicht..

ok, jetzt sehe ich, dass du nicht das dort angegebene verfahren ( [img]http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img] )
abblockst, weil dir der begriff 'gemeinsame verteilung' zu vage war,
sondern weil du halt nicht lesen kannst (bäh ;) )

dann noch mal mit anderen worten:
/edit
*und da wars auch schon wieder weg*

Sorry, wenn ich zwischendurch ne Frage zu 7.1 a) habe. Ich denke mal, man soll Def. 6.12 zum lösen benutzen.

jo, teil (e) davon

Im Buch S.106 wird die Matrix A = (a_ij) definiert. Nun, ich habe die Matrix aus den in der Aufgabe angegebenen Mittelwerten (a_i) gebildet, als nxn-Matrix.

wie machst du aus 4 zahlen eine 4x4 matrix?
wie auch immer, eine 4x4 matrix aus den zahlen a1,..,a4 wird hier nicht benötigt

Diese Matrix muss um invertierbar zu sein nen vollen Rang haben,d.h. weder Spalten, noch Zeilen dürfen von einander linear abhängig sein. Nun ist dies aber der Fall. Wie soll ich dann nachher zu
K = AA^T
das Inverse K^(-1) finden?
Also liegt mein Fehler doch schon am Anfang. Kann mir da jmd weiterhelfen?

da man eh nicht A aus den 4 ai's bildet ist das kein wunder,
versuchs mal mit 6.12 (e)

Also erstmal vielen Dank fuer die Lange Antwort. Aber daraus sehe ich immer noch nicht, wie ich eine gemeinsame Verteilung aufschreiben soll. Es reicht ja nicht, wenn ich a=.. und K=… aufschreibe und sage f^Y=N(a,K)
die frage ist wie schreibt man N(a,K) auf wenn a und K Matrizen sind.. Ich versteh das so, dass wie am Ende sowas stehn haben sollen wie:
f^Y= 1/a*sqrt(2pi) * e^-(x-a)/2sigma^2
Oder bin ich da auf'm falschen Dampfer..?!

dakira

Jo, thx. Hab deinen Beitrag eben gelesen.

Das mit der 4x4-Matrix behalte ich dann lieber für mich [img]http://www.fb18.de/gfx/15.gif[/img]

Also erstmal vielen Dank fuer die Lange Antwort. Aber daraus sehe ich immer noch nicht, wie ich eine gemeinsame Verteilung aufschreiben soll. Es reicht ja nicht, wenn ich a=.. und K=… aufschreibe und sage f^Y=N(a,K)
die frage ist wie schreibt man N(a,K) auf wenn a und K Matrizen sind.. Ich versteh das so, dass wie am Ende sowas stehn haben sollen wie:
f^Y= 1/a*sqrt(2pi) * e^-(x-a)/2sigma^2
Oder bin ich da auf'm falschen Dampfer..?!

dakira

eher Y ~ N(a,K) für a = ..

oder von mir auch so:
Y ~ N( ( a1 ), ( sigma1^2 0 0 0 ) ) .. ..... .. ..... .. .....


etwas ähnliches wie f^Y= 1/a*sqrt(2pi) * e^-(x-a)/2sigma^2
[ist eine R-Dichte!, keine verteilung] ist auch recht spannend,
aber ich denk mal das bringt nicht wirklich was wenn man das dazuschreibt,
wenn doch dann wie in definition 6.12 angegeben und auch mit
lauter matrixen oder fettgedruckten buchstaben als ersatz

edit
na man soll da ja immerhin noch ne determinante ausrechen bei der R-Dichte,
ok, könnte vielleicht do gefragt sein in der aufgabe,
wieder mal interpretationssache ;)

Gut, damit ist K^(-1) auch kein Problem.
Muss man das detK genau bestimmen? Ich wüsste nicht wie.

die determinate bei der R-Dichte seh ich auch grade,
das ist ja was zum rechnen,
dann soll man das vielleicht doch in der lösung angeben,
weiss nicht..,

wie man die ausrechet:
kein M3 gehabt?, muss selber auch erst nachschauen,
da findet man bestimmt bei google gute anleitungen zum ausrechen

Das mit der Determinante habe ich - glaube ich - raus.

Hab mit google, wie du es erwähnt hast, gesucht.

Das wäre bei unserem K ja ne recht einfache Angelegenheit, weil wir doch nur in der Diagonalen Werte haben. Und nach dem was ich rausgelesen habe, muss man von der Summe der "von links-oben nach unten-rechts"-Produkte, die Summe der Produkte "von links-unten nach oben-rechts" subtrahieren.

klingt noch zu kompliziert, nach meinem buch:

det ( a * * ) = a b c 0 b * 0 0 c

Ich denke, mit den bestimmten Grössen wäre Aufgabenteil a) auch beantwortet. Dann folgt auch gleich Teil b).

Wir haben st.u. Y_i und bei Z_i Summen-Verteilungen. Das wiederrum würde heissen, dass es sich um Faltungen handelt.

Slater, siehst du das auch so?

Noch zu der Determinante: Ja, bei mir kommt formel im Endeffekt das gleiche raus [img]http://www.fb18.de/gfx/15.gif[/img] Das war ne allgemeinere Formel. Aber wieso einfach, wenns auch kompliziert geht [img]http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img]

Wir haben st.u. Y_i und bei Z_i Summen-Verteilungen. Das wiederrum würde heissen, dass es sich um Faltungen handelt.

Slater, siehst du das auch so?

sehe ich auch so, wenn du mit Faltungen das meinst, was bei 6.12 (b) und (d) steht,
lineare Transformation hört sich dafür auch gut an

*und da wars auch schon wieder weg*

soll ich's nochmal posten? :-)

ich kann dich nicht hindern,
schrecken über mittelerde zu bringen ;)

Wie siehts denn mit Aufg. 7.1 b) aus? Ich verstehe das bisher so, dass Z = (Z1,Z2,Z3) eine Normalverteilung ist, die sich aus Y1-Y4 zusammensetzt. Mit der Formel aus dem Buch:

Z ~ N(b + Aa , AKA^t)

Dabei soll b der Vektor (10,20,5)^t sein, a
der Vektor aus aufgabe a) (1,1,2,3)^t, K die
Matrix aus Aufgabe a
( 2 0 0 0 )
( 0 1 0 0 )
( 0 0 3 0 )
( 0 0 0 2 )
und A die 3x4-Matrix aus b), die sich aus diesen Linearkombinationen ergibt. Bei mir kommt aber
det (AKA^t) = 208800 raus, und das ist doch ziemlich viel, finde ich…

Hat eigentlich einer verstanden, was ich hier zu beschreiben versuche?

( 2 0 0 0 )
( 0 1 0 0 )
( 0 0 3 0 )
( 0 0 0 2 )

sigma^2 nicht sigma jeweils

und A die 3x4-Matrix aus b), die sich aus diesen Linearkombinationen ergibt. Bei mir kommt aber
det (AKA^t) = 208800 raus, und das ist doch ziemlich viel, finde ich…

3x4 * 4x4 * 4x3 ergibt eine 3x3 matrix, was ist denn 208800 [img]http://www.fb18.de/gfx/3.gif[/img]

edit
ah det, mal schauen..

edit
ok, hab ich auch raus, dann rechnest du wohl doch mit sigma^2?

Bei Aufgabenteil c) steht was von Kovarianz. Ist die Kovarianz nicht ein Wert (daher eine Zahl)?? Wie soll ich davon die Verteilung bestimmen? Denn immerhin steht das "Verteilungen" von Bla1 und Bla2…. [img]http://www.fb18.de/gfx/26.gif[/img]

das kann man glaub ich unter schreibfehler abhaken,
die aufgabe gibts auch im buch und da stand ursprünglich:
'..die Verteilungen der Zi und Kov(Zi,Zj) i != j.'

die zwei leerzeichen vor und nach dem 'und' sprechen eh für sich

Mal so nebenher gefragt. Wurde in irgendeiner Übungsgruppe die Präsenzaufgabe 7.4 besprochen? Eigentlich wäre die Besprechung ja für die Hausaufgaben ganz nett gewesen.

tjo, 12.00-13.30 raum 241, da wurde ihnen geholfen

Aufgabe 7.1 a) nochmal.
Hab fast alles kapiert, aber bei f^Y(y)=…
Was setze ich für den y-Vector ein ?

Hurra! Endlich eine einfache Frage mit einfacher Lösung!

Du setzt ein: y = (y1,y2,y3,y4)
was ja Y = (Y1,Y2,Y3,Y4) entspricht.

Ich hab auch noch ne Frage, vielleicht gibts dazu auch ne einfache Antwort.

Wenn bei d) der gemeinsame Verteilung von Z_2 und Z_3 die Rede ist, ist das dann äquivalent zu (Z_2,Z_3)?

Dann würde der Lösungsweg analog zum dem von b) sein.

Y = (Y1,Y2,Y3,Y4)

Das war schon klar, aber welche Zahlenwerte?
Soll ich für jedes Yi die Normalverteilung ausrechnen? und daraus dann den Vector bilden?

Lies Dir mal die ersten Beiträge durch.

Ansonsten schau Dir die Def. 6.12 an, die P^Y beschreibt. Dort sind die Grössen, die man bestimmen soll, sprich a,K und detK. Den Vektor a kann man praktisch aus der Aufgabenstellung abschreiben.

Hilfe! Kann mir mal jemand nen Tip für c) und d) geben?

Was wollen die von mir??? Und wie geb ich es ihnen ?

Da sitze ich auch gerade dran. Aber ich bin mir da auch noch nicht sicher.

Wie ich das sehe, erhält man für die Verteilung von Z_2 ein eindimensionales a und einen Vektor K. Nur für einen Vektor gibt es keine Determinante [img]http://www.fb18.de/gfx/5.gif[/img]. Damit wäre die Formel aus Def. 6.12 aber nicht vollständig ausgefüllt.

Was die Kov(Z_1,Z_3) angeht, muss man wohl die Matrix (k_ij)=K=BB^T bilden. Dann wäre nach dem Satz ("Fasst man die Kov….",) S.106 im Buch der Eintrag k_1,3 die gesuchte Kovarianz.

Oder versteht das jmd anders?

Pass auf: Du startest mit Satz 5.7 (Seite 69) X_i sei N(0,1)-verteilt (eindimensional).
Dann ist Y_i = a_i + sigma_i * X_i
N(a_i,sigma_i^2)-verteilt (eindimensional).

Seien Y_1,…,Y_4 stu mit und Y_i sei N(a_i,sigma_i^2)-verteilt.
Dann ist

Y_1 = sigma_1 0 0 0 * X_1 + a_1
Y_2 = 0 sigma_2 0 0 * X_2 + a_2
Y_3 = 0 0 sigma_3 0 * X_3 + a_3
Y_4 = 0 0 0 sigma_4 * X_4 + a_4

Gemeint ist: (Vektor) = (Matrix)*(Vektor) + (Vektor)
Das geht mit der Formatierung aber nicht so ohne weiteres.

Mit (6.12b) ist also (Y_1,Y_2,Y_3,Y_4) nach N(a,K)- verteilt mit
a=(a_1,a_2.a_3,a_4) und mit K_i,j = sigma_i*delta(i,j) (Kronecker-Delta)

Damit schreibt sich oberes System dann in der Form
Y = K*X + a
Das ist 7.1a . Genauso gehts weiter. (Alles klar?)

Mit (6.12b) ist also (Y_1,Y_2,Y_3,Y_4) nach N(a,K)- verteilt mit
a=(a_1,a_2.a_3,a_4) und mit K_i,j = sigma_i*delta(i,j) (Kronecker-Delta)

nö, eher:
K_i,j = sigma_i^2*delta(i,j)

Damit schreibt sich oberes System dann in der Form
Y = K*X + a
Das ist 7.1a . Genauso gehts weiter. (Alles klar?)

hier wieder eine matrix nur mit sigma, das ist aber eine
andere als K (damit bezeichnet man normalerweise die
kovarianzenmatrix (K_i,j = sigma_i^2*delta(i,j)))

Was die Kov(Z_1,Z_3) angeht, muss man wohl die Matrix (k_ij)=K=BB^T bilden. Dann wäre nach dem Satz ("Fasst man die Kov….",) S.106 im Buch der Eintrag k_1,3 die gesuchte Kovarianz.

klingt gut

Wenn bei d) der gemeinsame Verteilung von Z_2 und Z_3 die Rede ist, ist das dann äquivalent zu (Z_2,Z_3)?

jo

Wie ich das sehe, erhält man für die Verteilung von Z_2 ein eindimensionales a und einen Vektor K. Nur für einen Vektor gibt es keine Determinante . Damit wäre die Formel aus Def. 6.12 aber nicht vollständig ausgefüllt.

K ist dann kein vektor sondern eine 1x1 matrix (na gut, da kann man auch vektor zu sagen), dafür gibts ne determinante

Wie kommt man denn nun von der Kovarianzmatrix zur Verteilung von Kov(Z1, Z3)?

Hey, das waren ja mehrere Antworten auf ein mal [img]http://www.fb18.de/gfx/14.gif[/img].

K ist dann kein vektor sondern eine 1x1 matrix (na gut, da kann man auch vektor zu sagen), dafür gibts ne determinante

Also wie ich das vorhin beschrieben habe, wäre k einen 1x4-Vektor zu dem linearen Gleichungssystem von Z_2. Und zwar:
k = (0,-2,5,3)^T

Du sagst es ist eine 1x1 Matrix oder Vektor. Also eine einfache Zahl? Wie bringt man dann das Gleichungssystem da ein?

Stimmt.
So ist es richtig:

Y=A * X +a
Vektor =Matrix *Vektor + Vektor
mit A=sigma_i*delta(i,j). Die Kovarianzmatrix K erhält man aus
K=A*A^T = sigma_i^2*delta(i,j)

Noch mal eine Frage zu 7.1.b), ich versuche hier, die Kovarianzmatrix auszurechnen, und bekomme abseits der Hauptdiagonalen nur Nullen heraus. Ich weiß, daß das nicht heißen muß, daß die Z_i stochastisch unabhängig sind, aber merkwürdig kommt es mir schon vor…

So rechne ich z.B. Kov(Z1, Z2) aus:

Kov(Z1, Z2) = E(Z1Z2) - EZ1 * EZ2 =
E((10+3Y1+Y3+2Y4) * (20-2Y2+5Y3+3Y4)) - 21 * 37 =
E(ganz langer Term, die beiden Klammern sind ausmultipliziert) - 777 = 0,

wenn ich mich nicht dabei irre, daß z.B. E(-20Y1+50Y3) = -20 * E(Y1) + 50 * E(Y3) ist.

Danke für Antworten & schönen Abend.

/EDIT
Ok, inzwischen habe ich auch die Bemerkung Seite 108 oben gelesen und weiß, daß Kov(Z1,Z2) = 69. Kann aber trotzdem nicht meinen Fehler da oben finden…

K ist dann kein vektor sondern eine 1x1 matrix (na gut, da kann man auch vektor zu sagen), dafür gibts ne determinante

Also wie ich das vorhin beschrieben habe, wäre k einen 1x4-Vektor zu dem linearen Gleichungssystem von Z_2. Und zwar:
k = (0,-2,5,3)^T

Du sagst es ist eine 1x1 Matrix oder Vektor. Also eine einfache Zahl? Wie bringt man dann das Gleichungssystem da ein?

tja, dann liegst du wohl mit dem 1x4 vektor falsch,
eine einzelne zufallsvariable Z_2 ist N(mittelwert,streuung^2)
verteilt, die zahl streuung^2 kann man gerne als 1x1 matrix auffassen
(mit determinante) oder auch als einer-vektor halt

was bringt das gleichungssystem?
es sagt wie diese einzelne zahl aussieht

Ok, danke. Ich habs das noch nicht ganz gecheckt, aber ich überdenke es noch mal.

Noch mal eine Frage zu 7.1.b), ich versuche hier, die Kovarianzmatrix auszurechnen, und bekomme abseits der Hauptdiagonalen nur Nullen heraus. Ich weiß, daß das nicht heißen muß, daß die Z_i stochastisch unabhängig sind, aber merkwürdig kommt es mir schon vor…

So rechne ich z.B. Kov(Z1, Z2) aus:

Kov(Z1, Z2) = E(Z1Z2) - EZ1 * EZ2 =
E((10+3Y1+Y3+2Y4) * (20-2Y2+5Y3+3Y4)) - 21 * 37 =
E(ganz langer Term, die beiden Klammern sind ausmultipliziert) - 777 = 0,

wenn ich mich nicht dabei irre, daß z.B. E(-20Y1+50Y3) = -20 * E(Y1) + 50 * E(Y3) ist.

ich schätze mal es liegt an dem langen term,
wie hast du den denn ausgerechnet,

zum beispiel ist E(Y3^2) normalerweise nicht (E(Y3))^2
sondern bestimmt ne komplizierte kiste,
auf seite 70 steht ein bisschen dazu

Donnerschlag. Danke! Du hast völlig recht, daran wird's gelegen haben.

zum beispiel ist E(Y3^2) normalerweise nicht (E(Y3))^2

Aber in diesem Fall(weil stoch. unabh.) doch schon oder?
Nach 6.3(e) auf Seite 94 ist dann:

E(XY) = EXY = EX * EY
somit doch auch: E(Y3^2) = E(Y3Y3) = E(Y3)* E(Y3) = (E(Y3))^2

wie gesagt ne komplizierte geschichte
schau mal auf seite 70:

ist X normalverteilt, dann ist EX = 0, aber E(X^2) = 1..


wenn x = 4 ist dann ist ja automatisch das andere x auch = 4,
dann sind die beiden offensichtlich nicht unabhängig oder so ähnlich..

Aber in diesem Fall(weil stoch. unabh.) doch schon oder?
Nach 6.3(e) auf Seite 94 ist dann:

E(XY) = EXY = EX * EY
somit doch auch: E(Y3^2) = E(Y3Y3) = E(Y3)* E(Y3) = (E(Y3))^2

Y1 und Y2 sind zwar stochastisch unabhängig, aber Y1 und Y1 nicht… oder, anders herum: Y1 hängt nicht unwesentlich von Y1 ab [img]http://www.fb18.de/gfx/23.gif[/img]