wer noch ein bisschen üben möchte,
hier sind ein paar leichte aufgaben, deren typ im test drankommen könnte,

1.

Eine Ampel spielt nach einem Softwareupdate verrückt.
Sie springt zwischen Rot, Gelb und Grün hin und her.
Von Rot aus mit der Wahrscheinlichkeit 0.5 nach rot, 0.3 nach gelb, 0.2 nach grün.
Von Gelb aus mit der Wahrscheinlichkeit 0.1 nach rot, 0.8 nach gelb, 0.1 nach grün.
Von Grün aus mit der Wahrscheinlichkeit 0.15 nach rot, 0.4 nach gelb, 0.45 nach grün.

Bei jedem Neustart beginnt sie in X1 = Gelb.

a.)
Beschreiben sie die Zustände Xi durch eine homogene Markov-Kette. ;))

b.)
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit,
dass die Ampel in X2 Rot anzeigt/ in X3 nicht Grün?

c.)
Angenommen, die Ampel beginnt nicht immer in X1 = Gelb,
sondern mit der Wahrscheinlichkeit c in X1 = Gelb und (1-c) in X1 = Rot.
Wie müsste c gewählt werden, damit die Wahrscheinlichkeit für
X2 = Grün halb so gross ist wie die für X2 = Rot.


2.
Eine Internetfirma schickt beliebige Spam-Mails an unschuldige User.
Die Länge einer solchen Nachricht sei approximiert durch eine
Normalverteilung mit dem Mittelwert 800 bit und der Streuung 150 bit.

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit einer Email mit mehr als 1000 bit.
(Hinweis: Rechnen Sie halbzahlig.)

3.
Eine weitere Normalverteilung beschreibt die Sonnenscheindauer
eines Tages in Hamburg.
Mittelwert ist hier 4.3 Stunden, die Streuung liegt bei 90 Minuten.

Welcher Scheindauer entspricht das 25%-Quantil der Verteilung.

4.
Von 1000 untersuchten Personen erhielten 502 keine Grippeschutzimpfung.
Insgesamt erkrankten 309 Personen an Grippe. Von den geimpften blieben
450 gesund.

a.) Wieviel Prozent der geimpften Personen erkrankten an Grippe?
b.) Wieviel Prozent der Grippekranken wurden geimpft?

c.) Ein Arzt stellt bei einer Person eine Grippeerkrankung fest.
Mit welcher Wahrscheinlichket wurde die betreffende Person nicht gegen
Grippe geimpft?
d.) Besteht ein Zusammenhang zwischen Schutzimpfung und Erkrankung?

Hinweis: Formulieren sie die gegebenen Wahrscheinlichkeiten und Fragen
mit Ereignissen A,B,..

Haste die Lösungen auf Tasch? Bei 1C stelle ich mich gerade zu doof an. Dabei glaube ich eigentlich, richtig anzufangen.

immerhin einer hat mitgemacht ;)

lösungen sind durchaus nicht endgültig, ich kann mich ja auch verrechnen


1.

Eine Ampel spielt nach einem Softwareupdate verrückt.
Sie springt zwischen Rot, Gelb und Grün hin und her.
Von Rot aus mit der Wahrscheinlichkeit 0.5 nach rot, 0.3 nach gelb, 0.2 nach grün.
Von Gelb aus mit der Wahrscheinlichkeit 0.1 nach rot, 0.8 nach gelb, 0.1 nach grün.
Von Grün aus mit der Wahrscheinlichkeit 0.15 nach rot, 0.4 nach gelb, 0.45 nach grün.

Bei jedem Neustart beginnt sie in X1 = Gelb.

a.)
Beschreiben sie die Zustände Xi durch eine homogene Markov-Kette.

p(ij) startzustand = gelb

b.)
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit,
dass die Ampel in X2 Rot anzeigt/ in X3 nicht Grün?

X2 = Rot:
1 * 0.1 = 0.1

X3 = Grün:

0.1 * 0.45 + 0.8 * 0.1 + 0.1 * 0.2 = 0.145

X3 != Grün:

1 - 0.155 = 0.855


c.)
Angenommen, die Ampel beginnt nicht immer in X1 = Gelb,
sondern mit der Wahrscheinlichkeit c in X1 = Gelb und (1-c) in X1 = Rot.
Wie müsste c gewählt werden, damit die Wahrscheinlichkeit für
X2 = Grün halb so gross ist wie die für X2 = Rot.

X2 = Grün: c * 0.1 + (1-c) * 0.2
X2 = Rot: c * 0.1 + (1-c) * 0.5

2 * (c * 0.1 + 0.2 - c * 0.2) = c * 0.1 + 0.5 - c * 0.5

c * 0.2 + 0.4 - c * 0.4 = c * 0.1 + 0.5 - c * 0.5

c * 0.2 + 0.4 = 0.5

c = 1/2

2.
Eine Internetfirma schickt beliebige Spam-Mails an unschuldige User.
Die Länge einer solchen Nachricht sei approximiert durch eine
Normalverteilung mit dem Mittelwert 800 bit und der Streuung 150 bit.

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit einer Email mit mehr als 1000 bit.
(Hinweis: Rechnen Sie halbzahlig.)

999,5 - 800 / 150 = 1.33

P(X > 1000 bit) = 1 - 0.9082 = 0.09

3.
Eine weitere Normalverteilung beschreibt die Sonnenscheindauer
eines Tages in Hamburg.
Mittelwert ist hier 4.3 Stunden, die Streuung liegt bei 90 Minuten.

Welcher Scheindauer entspricht die 25%-Grenze der Verteilung.

0.75 ^= 0.674

0.25 ^= -0.674

-0.674 * 1.5 + 4.3 = 3.289


4.
Von 1000 untersuchten Personen erhielten 502 keine Grippeschutzimpfung.
Insgesamt erkrankten 309 Personen an Grippe. Von den geimpften blieben
450 gesund.

a.) Wieviel Prozent der geimpften Personen erkrankten an Grippe?
b.) Wieviel Prozent der Grippekranken wurden geimpft?

c.) Ein Arzt stellt bei einer Person eine Grippeerkrankung fest.
Mit welcher Wahrscheinlichket wurde die betreffende Person nicht gegen
Grippe geimpft?
d.) Besteht ein Zusammenhang zwischen Schutzimpfung und Erkrankung?

A = geimpft B = erkrankt

P(A) = 498/1000
P(B) = 309/1000 P(B^C|A) = 450/498
a.) P(B|A) b.) P(A|B) c.) P(A^C|B)
d.) ja

P(B|A) = 1 - P(B^C|A) = 48/498

P(AB^C) = P(A) * P(B^C|A) = 450/1000
P(AB) = P(A) - P(AB^C) = 48/1000
P(A|B) = P(AB)/P(B) = 48/1000 / 309/1000 = 48/309

P(A^C|B) = 1 - P(A|B) = 261/309

d.) ja

Hmm. Tja. Meine Lösung für 1a scheint ja ziemlich unsinnig zu sein. Ansonsten bis inklusive 2 aber fein. Könnte ja vielleicht doch noch bestehen. *g* Aber 3 is nich. Das hatten wir ja gerade mal bei P7.2. Oder habe ich da etwas von vorher übersehen? Egal. Nun versuche ich mal vier, ohne zwischendurch auf die Lösung zu schielen. *gespanntIst*

Moin

kannst du mir vielleicht 2 und 3 erklären?? Hab das hier mal versucht, dachte aber, dass das was mit diesem Riemann Integral zu tun hat…

thx

wenn ich mich nicht verechnet habe gibt es keine wahl für c, so dass c positiv wäre. (ist aber ne w-keit und damit positiv)

meine rechnung: ggeben ist die übergangsmatrix.
bilde 0-> rot, 1-> gelb und 2-> grün ab. der zustandsraum I={0,1,2} (wie beim wetterbeispiel)

dann ist im teil c) der startvektor (1-c;c;0)

nun soll c so gewählt werde, dass P(X2=1)=1/2 *P(X2=0)

mit der Formel P(Xn=j)= summe (i aus I) {P(X(n-1) = i) *pi,j}
ergibt sich:

P(X2=1)=P(X1=0)*p01 + P(X1=1)*p11 + P(X1=2)*p21
=(1-c)*0,3 + c*0.8 + 0*0,4
=0,3 + 0,3*c

für

P(X2=0)=0,5-0,4*c

Insgeammt also: 0,3 + 0,3*c = 1/2 *(0,5 -0,4*c)

<=> 0,05 = -0,2*c <=> c = -0,1

da c w-keit ist, wäre das ergebnis nicht möglich, da w-keiten im intervall [0,1] liegen müssen. (oder ich habe mich verechnet :-))

MfG

2.
Eine Internetfirma schickt beliebige Spam-Mails an unschuldige User. Die Länge einer solchen Nachricht sei approximiert durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert 800 bit und der Streuung 150 bit.

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit einer Email mit mehr als 1000 bit. (Hinweis: Rechnen Sie halbzahlig.)

Da nimmt man die Formel aus 3.15

Phi((x-a) / sigma). Dabei ist a der Mittelwert und sigma die Streuung.

Halbzahlig, heißt +0,5

Interessieren tun uns die Mails ab 1000 Bit. Das bedeutet ganzzahlig:

Phi((1000,5 - 800) / 150) = Phi(1,3366)

Und alles was darüber ist (also bis unendlich)
Phi((unendlich-800) / 150) = so etwa Phi(unendlich)

Nun ziehen wir die untere, von der oberen Schranke ab:

Phi(unendlich) - Phi(1,3366)

Was das ist, kann hinten im Buch nachgeschalgen werden (A.3):

Phi(unendlich): Beim betrachten der Tabelle liegt es nah, dass das wohl 1 ist. Und so ist dem auch.

Phi(1,3366) = 0,9082. (genauer als 1,33 kann man da halt nicht nachgucken)

Also: 1 - 0,9082 = 0,0918.

Aufgabe drei habe ich aber nicht gemacht, weil ich die erst einmal für irrelevant halte.

Edit: Mein Einwand bei Aufgabe 4 möge man wieder vergesse. Ich lerne derweilen mal lesen. *g*

normalverteilung hats schon in 4.2 und 5.2,
die umkehrung an sich nur in 4.2,
heisser tipp für den test, find ich ;)

erklären von 2:

es gibt sowas wie eine normalverteilung zum wahrscheinlichkeiten ausrechnen,
das funktioniert so, das man einen mittelwert und eine
streuung hat, und damit einen wert so transformieren kann,
dass man nur noch in der wertetabelle der
standardnormalverteilung nachschauen muss:

oh ich seh grad, dass ich einen fehler gemacht habe,
nicht 1000,5 sondern 999,5

999,5 entspricht in der standardnormalverteilung 999,5 - 800 / 150 = 1.33

(man nimmt nicht die zahl 1000 an sich, sondern 1/2 mehr,
um damit den fehler bei der approximation auszugleichen)

jetzt noch in der wertetabelle nachschauen:
P(X < 1.33) = F(1.33) = 0.9082

damit ist P (X > 1.33) = 1 - 0.9082 = 0.09



bei 3 nur andersrum

der wert der standardnormalverteilung ist gegeben: 25%

wieder nachschauen, bei welchen x dieser wert erreicht wird:
F(x) = 0.25
-F(x) = 0.75 (nur die x-werte für über 50% stehen im buch)

-> x = -0.674

das ist das x in der standardnormalverteilung,
das muss man noch in die spezielle gegebene verteilung umrechen

-0.674 * streuung + mittelwert = -0.674 * 1.5 + 4.3 = 3.289

cool Jungs, vielen Dank!!!

Hatte die Verteilungsfunktion irgendwie gekonnt überlesen… [img]http://www.fb18.de/gfx/7.gif[/img]

ihr redet wohl nicht mit anonymen….was ist an meiner argumentation falsch?

ups, fehler gefunden…

sorry total übersehen,
du rechnest gelb statt grün

wenn ich mich nicht verechnet habe gibt es keine wahl für c, so dass c positiv wäre. (ist aber ne w-keit und damit positiv)

meine rechnung: ggeben ist die übergangsmatrix.
bilde 0-> rot, 1-> gelb und 2-> grün ab. der zustandsraum I={0,1,2} (wie beim wetterbeispiel)

dann ist im teil c) der startvektor (1-c;c;0)

nun soll c so gewählt werde, dass P(X2=1)=1/2 *P(X2=0)

Und hier ist der Fehler. Die Aufgabe sagt, dass P(X2=2)=1/2*P(X2=0) sein soll [img]http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]

na toll, in der Zeit wo ich ne Antwort schriebe kommen plötzlich 3 zum selben Thema [img]http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]

na toll, in der Zeit wo ich ne Antwort schriebe kommen plötzlich 3 zum selben Thema [img]http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]

war ja auch so knapp, nicht wahr [img]http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]
20 min.. ;)

na toll, in der Zeit wo ich ne Antwort schriebe kommen plötzlich 3 zum selben Thema [img]http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]

war ja auch so knapp, nicht wahr [img]http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]
20 min.. ;)

Ich sollte öfters aktualisieren [img]http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]

Von Grün aus mit der Wahrscheinlichkeit 0.05 nach rot, 0.4 nach gelb, 0.45 nach grün.


das ganze ergibt nur 0.9, sollte aber schon 1 ergeben. ;)

ja, 0.1 ist der geheime neue supermodus (BLAU!) [img]http://www.fb18.de/gfx/23.gif[/img]
na ich werds mal ändern so dass es sich nicht auf die ergebnisse auswirkt