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M2 - Blatt 3
Ich habe probs mit der aufgabe 3, was muss man den genau beweisen, wie findet man den die x0 für die die stetigkeit gilt? Heute im tutorium glaube ich verstanden zu haben das man zeigen soll zB durch einsetzen von der folge 1/n bewiesen werden das f0(x)=cos(1/x) f0(xn)=0 nicht gilt oda sowas inner art. Naja ich habs halt nich ganz verstanden.
Naja du musst dir erst einmal die "interessanten" Punkte raussuchen. Der cosinus ist ja z.B. stetig und diverse Verbindungen von stetigen Funktionen sind ja auch stetig (s. Skript S.17 Satz 10). Dann bleiben nur noch ein paar interessante Punkte übrig, meistens aufgefüllte Definitionslücken und bei stückweise definierten Funktionen die Grenzen der einzelnen Stücke. Da hast du dann schonmal nur noch ganz wenig x0, dass man prüfen muss :)
1/n ist ein netter ansatz, aber man kann ihn noch verbessern. Überleg dir eine Folge, wo der cosinus beim Grenzwert berechnen nicht so problematisch ist.
mmmh k, aba ich denk mein hauptproblem ist es das ich die aufgabenstellung nicht ganz verstehe. Ich versteh das so das mir 2 funktionen gegeben sind und ich jeweils angeben für welches x0 diese funktionen stetig sind. Nun seh ich das so, wie es in mathe üblich ist, was nich bewiesen wurde existiert nich. Also könnte theoretisch dieses x0 doch überall sein oda etwa nicht?
mmmh k, aba ich denk mein hauptproblem ist es das ich die aufgabenstellung nicht ganz verstehe. Ich versteh das so das mir 2 funktionen gegeben sind und ich jeweils angeben für welches x0 diese funktionen stetig sind. Nun seh ich das so, wie es in mathe üblich ist, was nich bewiesen wurde existiert nich. Also könnte theoretisch dieses x0 doch überall sein oda etwa nicht?
Ja. E sgibt auch üebrabzählbar viele x0 an denen die Funktion stetig ist. Nur kannst du so gut wie alle x0 abhaken indem du darüber argumentierst, dass die Komposition von zwei stetigen Funktionen auch wieder stetig ist. Der cosinus ist laut dem Hinweis auf Blatt 3 stetig. Außerdem hast du noch,dass f(x)=1/x stetig ist für alle x0 außer 0 stetig ist (Seite 17, Beispiel 4). Dann kannst du schonmal fast alle x0 abhaken, in denen das stetig ist. Nur die Sonderfälle brauchen eine genauere Rechnung über die Stetigkeit.
feine Idee!
Wie hast du mit Python den Fall N = \infty behandelt? ;-)
Danebengeklickt? [img]
http://www.fb18.de/gfx/7.gif[/img]
1/n ist ein netter ansatz, aber man kann ihn noch verbessern. Überleg dir eine Folge, wo der cosinus beim Grenzwert berechnen nicht so problematisch ist.
Ich hoffe es ist nich zuviel gefragt aba, haste ma ein beispiel parrat?
1/n ist ein netter ansatz, aber man kann ihn noch verbessern. Überleg dir eine Folge, wo der cosinus beim Grenzwert berechnen nicht so problematisch ist.
Ich hoffe es ist nich zuviel gefragt aba, haste ma ein beispiel parrat?
Ja, aber nur eines was ich nicht verraten darf, weil es die Musterlösung für die Aufgabe ist [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]. Überleg halt, den Grenzwert von cos(1/n) für n->unendlich ist etwas doof zu rechnen. Aber man kann ja auch gleich größere Sprünge machen wie cos(1/(2n)) oder so. Vielleihct findet man so was schöneres [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]
mmmh, ich rall da aba imma noch was nich. Nach der def der stetigkeit her muss ja die stetigkeit für jede folge gelten, also geh ich davon aus das mann eine folge finden muss für die f(x) kein wert in x0=0 hat. Da man ja sonst theoretisch beweisen müsste das die stetigkeit für jede folge gilt für x0=0(???)
mmmh, ich rall da aba imma noch was nich. Nach der def der stetigkeit her muss ja die stetigkeit für jede folge gelten, also geh ich davon aus das mann eine folge finden muss für die f(x) kein wert in x0=0 hat. Da man ja sonst theoretisch beweisen müsste das die stetigkeit für jede folge gilt für x0=0(???)
Wenn es an der stelle stetig ist, muss man es für jede Folge zeigen. ansonsten reicht wie üblich ein Gegenbeispiel [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]
Überleg halt, den Grenzwert von cos(1/n) für n->unendlich ist etwas doof zu rechnen
den will ich ja auch ganich rechnen, ich will für die folge 1/n (weil ja lim 1/n = 0) rechnen, das hiesse ja in f(x) eingesetzt cos(n)
Überleg halt, den Grenzwert von cos(1/n) für n->unendlich ist etwas doof zu rechnen
den will ich ja auch ganich rechnen, ich will für die folge 1/n (weil ja lim 1/n = 0) rechnen, das hiesse ja in f(x) eingesetzt cos(n)
Gut stimmt owhl, zuviele Brüche im Kopf gehabt [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]. Aber auch cos(n) für n->unendlich ist nicht so klasse auszurechnen [img]
http://www.fb18.de/gfx/18.gif[/img]
mir fällt grad was auf…kann es sein das cos ganich konvergent ist weil sie zB für die folge 1/(n*pi) das heisst f(x)=cos(n*pi) sie immer zwischen 1und -1 stagniert (für n E N)und das f(x) daher gar kein lim hat??
[edit]kann es sein das das die lösung zur frage ist?[/edit]
mir fällt grad was auf…kann es sein das cos ganich konvergent ist weil sie zB für die folge 1/(n*pi) das heisst f(x)=cos(n*pi) sie immer zwischen 1und -1 stagniert (für n E N)und das f(x) daher gar kein lim hat??
Das dürfte hinkommen. Ich sehe zumindest kein Problem damit im Moment.
[edit]kann es sein das das die lösung zur frage ist?[/edit]
Dazu bin ich nicht authorisiert, das zu sagen [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]
biste sicher das du das so machen kannst mo, schliesslich iss ja cos auf ganz R stetig und 1/x nur auf R/{0}: Und da dieses eine x0=0 fehlt in diesem fall, glaube ich zu meinen das man da diesen trick vom lim mit reinziehen bei der nacheinanderausführung nicht anwenden kann.
das da oben iss von mir, hatte nur das einloggen vergessen ;)
[edit]und so nebenbei iss mir wieder eingefallen: du machst den selben fehler wie tri letztens. Die frage iss nich cos(1/n) sonder cos(1/(1/n))=cos(n), und da haste dann lim cos(n)=cos(oo), und das iss nu mal nich lösbar.[edit]
Nein, 1/n ist auf seinem gesamten Definitionsbereich stetig. Bei null ist es nicht unstetig, sondern halt nicht definiert.
Und ich habe auch lim cos n ausgefuehrt, wenn Du genau hinsiehst. Er ist nicht existent. cos n konvergiert simpel nicht.
da haste mich misverstanden, genau das was du da oben meintest hab ich versucht auszudrücken :)
cos n konvergiert simpel nicht.
Da fehlt aber ein vernünftiger Beweis [img]
http://www.fb18.de/gfx/24.gif[/img] Und der grenzwert von cos(1/n) mag zwar 1 sein, aber helfen tut das nicht im geringsten [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]
Tri kann mann das für f1 so machen?:
für alle xn so dass lim xn=0 gilt lim f1(xn)=0*cos(oo)–>lim f1(xn)=0
Ich mein kann man sagen (ist das zulässig) : lim(blabla)=0*oo –> lim(blabla)=0
[edit]ist lim cos(oo)=oo überhaupt???[edit]
Ich mein kann man sagen (ist das zulässig) : lim(blabla)=0*oo –> lim(blabla)=0
Das hängt davon ab, wie du auf 0*unendlich kommst.
[edit]ist lim cos(oo)=oo überhaupt???[edit]
Ähhhh, der cosinus ist beschränkt auf [-1, 1], ich weiß nicht wie unendlich da ein Grenzwert sein soll [img]
http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img]
ja ich weiss nich wie ich das ausdrücken soll, kann ich den da so lassen das es dann nur 0*{-1,1} sein kann, und das deswegen das lim = 0 iss für jede xn sodas lim xn=0??
ja ich weiss nich wie ich das ausdrücken soll, kann ich den da so lassen das es dann nur 0*{-1,1} sein kann, und das deswegen das lim = 0 iss für jede xn sodas lim xn=0??
Wenn du eine richtige Begründung für die 0 hast, könnte das gehen, aber uim das zu beurteilen müsste ich mehr von der Rechnung sehen [img]
http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img]
naja des iss eigentlich ganz simpel:
Um die stetigkeit an der stelle x0=0 zu prüfen kommen ja nur folgen die die bedingung lim xn=0 in frage. Das heisst für f1(xn)=xn*cos(1/xn).
Also gilt lim f1(xn)=lim (xn*cos(1/x))
Nach satz 10 s.17 im skript =(lim xn)*(lim cos(1/x))=0*{-1,1}=0
voila! für alle folgen xn sodas lim xn=0 bewiesen das f1(xn)=f1(x0), somit iss die funktion für x0=0 stetig (???)
naja des iss eigentlich ganz simpel:
Um die stetigkeit an der stelle x0=0 zu prüfen kommen ja nur folgen die die bedingung lim xn=0 in frage. Das heisst für f1(xn)=xn*cos(1/xn).
Also gilt lim f1(xn)=lim (xn*cos(1/x))
Nach satz 10 s.17 im skript =(lim xn)*(lim cos(1/x))=0*{-1,1}=0
voila! für alle folgen xn sodas lim xn=0 bewiesen das f1(xn)=f1(x0), somit iss die funktion für x0=0 stetig (???)
Ah, f1 war die andere Funktion. Joah, dann klingt das ganz glaubwürdig [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]
mmmh ich hab mir jetzt 4) immer wiedda angegugt und ich find für die beweisführung kein anstatz. Kann mir ma jemand n denkanstoss geben?
mmmh ich hab mir jetzt 4) immer wiedda angegugt und ich find für die beweisführung kein anstatz. Kann mir ma jemand n denkanstoss geben?
*kopfanstoß* besser? [img]
http://www.fb18.de/gfx/7.gif[/img]
SCNR
mmmh ich hab mir jetzt 4) immer wiedda angegugt und ich find für die beweisführung kein anstatz. Kann mir ma jemand n denkanstoss geben?
*kopfanstoß* besser? [img]http://www.fb18.de/gfx/7.gif[/img]
SCNR
huh? was soll das den nu? und was heisst SCNR? Und weiter helfen tuts nich gerade tri…
*kopfanstoß* besser? [img]http://www.fb18.de/gfx/7.gif[/img]
SCNR
huh? was soll das den nu? und was heisst SCNR? Und weiter helfen tuts nich gerade tri…
hab dir nen denkanstoß gegeben [img]
http://www.fb18.de/gfx/15.gif[/img], SCNR = sorry could not resist [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]
Anders formuliert: Das Problem an der Aufgabe ist, dass man nur die entscheidende Idee haben muss. MaW (Krämer rulez *g*) sobald man einen kleinen Tip gibt, kann man auch gleich die ganze Lösung hinschreiben, was ja nicht im Sinne des Erfinders ist.
mmh k, lass ich ma so gelten…[img]
http://www.fb18.de/gfx/25.gif[/img]
Vielleicht nochmal so viel:
Um <=> zu zeigen, muss man ja bekanntlich => und <= zeigen. => folgt direkt aus den Definitionen. <= ist etwas trickier.
Wir wissen:
- Alle Folgen, die sich "von links" an x_0 annaehern haben f(x_0) als Grenzwert (wegen der linksseitigen Stetigkeit)
- Alle Folgen, die sich "von rechts" an x_0 annaehern haben f(x_0) als Grenzwert (wegen der rechtsseitigen Stetigkeit)
Jetzt gibts aber leider noch andere Folgen, die mal links, mal rechts von x_0 sind. Wenn man jetzt zeigen kann, dass diese auch immer f(x_0) als Grenzwert haben, sind wir fertig…
ist in Aufgabe 3 f0 unstetig oder stetig? Ich habe mehrere Wege und bei allen kommt was anderes raus. bei f1 bin ich mir sicher, dass dies stetig ist aber f0????
Wer kann mir weiterhelfen?
Habe eine Frage zu Aufgabe 2 b)..
Ist der Grenzwert dort 0????
Oder soll ich auf meinen Taschenrechner hören, der sagt. dass es 0.5 ist.
Bekomme per Rechnung null heraus.
Die Umformung im Falle unendlich - unendlich laut Skript führt mich nicht wirklich weiter…
Hilfe
Ist der Grenzwert dort 0????
Nein [img]
http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img]
Oder soll ich auf meinen Taschenrechner hören, der sagt. dass es 0.5 ist.
Dazu darf ich nichts sagen [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]
Bekomme per Rechnung null heraus.
Die Umformung im Falle unendlich - unendlich laut Skript führt mich nicht wirklich weiter…
Dann hast du dich vermutlich verrechnet [img]
http://www.fb18.de/gfx/28.gif[/img]
In Übungsaufgabe 2.1.d machte man sowas schönes:
[img]
http://mokrates.homeip.net/cgi-bin/texstring?%5Csqrt%7Bn+1%7D-%5Csqrt%7Bn%7D%20=%20%5Cfrac%7B(%5Csqrt%7Bn+1%7D-%5Csqrt%7Bn%7D)%20(%5Csqrt%7Bn+1%7D+%5Csqrt%7Bn%7D)%7D%7B%5Csqrt%7Bn+1%7D+%5Csqrt%7Bn%7D%7D%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bn+1%7D+%5Csqrt%7Bn%7D%7D[/img]
Also einen Bruch aus so einem Wurzelterm machen. Vielleicht findest du ja
zufällig auch sowas hier und dann ists mitm Grenzwert nicht mehr ganz so schwer [img]
http://www.fb18.de/gfx/22.gif[/img]
Okay habs geschnallt…danke dir!!!
Tritritri… lass Dich bloss nicht erwischen. Es waere schade um Dich. :)
MoKrates
Tritritri… lass Dich bloss nicht erwischen. Es waere schade um Dich. :)
MoKrates
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http://www.fb18.de/gfx/15.gif[/img] Deswegen versuche ich vorsichtige Tipps zu geben und die Antworten fallen manchmal nicht so ausführlich aus, wie wenn jemand anders die Frage beantworten würde [img]
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